圆锥曲线方程及性质复习教案

　　约5410字。
     圆锥曲线方程及性质
　　要点精讲
　　1．椭圆
　　（1）椭圆概念
　　平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若 为椭圆上任意一点，则有 。
　　椭圆的标准方程为： （ ）（焦点在x轴上）或 （ ）（焦点在y轴上）。
　　注：①以上方程中 的大小 ，其中 ；
　　②在 和 两个方程中都有 的条件，要分清焦点的位置，只要看 和 的分母的大小。例如椭圆 （ ， ， ）当 时表示焦点在 轴上的椭圆；当 时表示焦点在 轴上的椭圆。
　　（2）椭圆的性质
　　①范围：由标准方程 知 ， ，说明椭圆位于直线 ， 所围成的矩形里；
　　②对称性：在曲线方程里，若以 代替 方程不变，所以若点 在曲线上时，点 也在曲线上，所以曲线关于 轴对称，同理，以 代替 方程不变，则曲线关于 轴对称。若同时以 代替 ， 代替 方程也不变，则曲线关于原点对称。
　　所以，椭圆关于 轴、 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；
　　③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 轴、 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令 ，得 ，则 ， 是椭圆与 轴的两个交点。同理令 得 ，即 ， 是椭圆与 轴的两个交点。
　　所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
　　同时，线段 、 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 和 ， 和 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
　　由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为 ；在 中， ， ， ，且 ，即 ；
　　④离心率：椭圆的焦距与长轴的比 叫椭圆的离心率。∵ ，∴ ，且 越接近 ， 就越接近 ，从而 就越小，对应的椭圆越扁；反之， 越接近于 ， 就越接近于 ，从而 越接近于 ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当 时， ，两焦点重合，图形变为圆，方程为 。
　　2．双曲线
　　（1）双曲线的概念
　　平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（ ）。
　　注意：①（*）式中是差的绝对值，在 条件下； 时为双曲线的一支（含 的一支）； 时为双曲线的另一支（含 的一支）；②当 时， 表示两条射线；③当 时， 不表示任何图形；④两定点 叫做双曲线的焦点， 叫做焦距。
　　椭圆和双曲线比较：
　　椭                圆 双         曲        线
　　定义  
　　
　　方程  
　　
　　
　　
　　焦点  
　　
　　
　　
　　注意：如何有方程确定焦点的位置！
　　（2）双曲线的性质
　　①范围：从标准方程 ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 的外侧。即 ， 即双曲线在两条直线 的外侧。
　　②对称性：双曲线 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
　　③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 的方程里，对称轴是 轴，所以令 得 ，因此双曲线和 轴有两个交点