1.2《点线面之间的位置关系--异面直线2》教案

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　　约4430字 第11课时  异面直线（二）
　　教学目标：
　　会求异面直线所成的角和异面直线间的距离，培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力、逻辑推理能力，使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想；渗透事物互相转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点. 
　　教学重点：
　　异面直线所成角的计算和异面直线间距离的计算.
　　教学难点：
　　异面直线所成角的计算和异面直线间距离的计算. 
　　教学过程：
　　Ⅰ.复习回顾
　　［师］上节课我们学习了异面直线所成的角，异面直线间的距离两个概念，请一位同学来叙述一下异面直线所成角的定义.
　　［生］过空间任意一点O，与异面直线a和b分别平行的直线所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角.
　　［师］定义不但告诉我们怎样的角叫做异面直线所成的角，而且告诉了我们两异面直线所成角的范围是什么？
　　［生］(0，π2 ］ 
　　［师］当两条异面直线所成的角为π2 时，这两条直线______.
　　［生］垂直、异面垂直.
　　［师］所以，今后谈到两条直线垂直时，它们可能共面垂直，也可能异面垂直.在学习异面直线间的距离时，首先涉及到一个概念——异面直线的公垂线.怎样的直线称为异面直线的公垂线呢？
　　［生］与两条异面直线都垂直相交的直线称为异面直线的公垂线.
　　［师］定义中的要点是什么？
　　［生］“垂直”“相交”二者缺一不可！
　　［师］好！把握好公垂线的概念，异面直线间距离的定义就容易掌握了.谁来表述一下异面直线间距离的定义？
　　［生］两条异面直线的公垂线段的长叫做两条异面直线的距离.
　　［师］上节课求异面直线所成的角与求两条异面直线的距离，我们讨论了一个比较简单的例子.这节课我们继续来研究两条异面直线所成的角和距离的计算方法.
　　Ⅱ.新课讨论
　　［例1］在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O1为上底中心，求下列异面直线所成的角.
　　(1)AB1与BC1；(2)A1B与B1D.
　　分析：求异面直线所成的角，关键是选择恰当的点，通过平移找到两条异面直线所成的角，找到的这个角还要较好的联系已知，对于(1)，同学们看一下，过哪条上的一点，平移另一条好呢？
　　［生］过A点平移BC1较好，过C1平移AB1也行，但前者
　　较后者从图形上看更直观.
　　［师］怎样平移BC1呢？(学生考虑)
　　［师］连结AD1，则AD1∥BC1，对吗？为什么？
　　［生］连结AD1，则四边形ABC1D1是平行四边形，所以
　　AD1∥BC1.
　　［生］∠D1AB1是异面直线AB1与BC1所成的角.
　　［师］怎样求其大小呢？
　　［生］在△D1AB1中求，因为△D1AB1是正三角形，所以∠D1AB1是60°，即AB1与BC1所成的角是60°.
　　［师］请大家写出此题的解答过程(并请一位同学在黑板上写出).
　　(1)解：连结AD1，则AD1∥BC1
　　∴∠D1AB1是异面直线AB1与BC1所成的角
　　∵△D1AB1是正三角形
　　∴∠D1AB1＝60°
　　即AB1与BC1所成的角是60°.
　　［师］下面我们来分析(2)，仍然是先平移将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角.
　　(同学试着平移，怎样也不能奏效)
　　［师］我们来做一个辅助图形：在这个正方体上面放一个同样大小的正方体.(教师在黑板上画一画，或者在投影片上画也行)，这样能找到两条异面直线所成的角了吗？
　　［生］连结B1A2，则B1A2平行于A1B，B1A2与B1D所成的锐角(或直角)是异面直线A1B与B1D所成的角.
　　［师］怎样求其大小呢？
　　［生］在△A2B1D中求.
　　［师］在△A2B1D中怎样求呢？
　　［生］△A2B1D中，B1D＝3 a，B1A2＝2 a，A2D＝5 a.(如果学生答不来，教师再予以提示)，用余弦定理可求得∠A2B1D的大小.
　　［生甲］知道△A2B1D的三边长度后，通过观察，心算，知A2D2＝B1D2＋B1A22，所以∠A2B1D＝90°，即A1B与B1D所成的角为90°.
　　［师］请同学们写出解答过程.
　　(2)解：在这个正方体上面放一个同样大小的正方体如图(黑板上的