《导数及其应用》复习教案8

约2150字。

　　专题一　导数的概念及运算
　　在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不具备求导法则条件的式子，在求导前应先利用代数、三角恒等变换对函数式进行化简，再求导．
　　例1利用导数的定义求函数f(x)＝1x＋2的导数
　　解析　因为Δy＝1x＋Δx＋2－1x＋2＝－Δxx＋Δx＋2x＋2，所以ΔyΔx＝－1x＋Δx＋2x＋2，
　　所以f′(x)＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0[－1x＋Δx＋2x＋2]＝－1x＋2x＋2＝－1x＋22.
　　.
　　（巩固训练）设函数f(x)在x0处可导，则limΔx→0 fx0－Δx－fx0Δx等于(     )
　　A．f′(x0)           B．－f′(x0)     C．f(x0)             D．－f(x0)
　　解析：limΔx→0 fx0－Δx－fx0Δx＝－limΔx→0 f[x0＋－Δx]－fx0－Δx＝－f′(x0)．故选B
　　例2求下列函数的导数：
　　(1)y＝exln x;  (2)y＝1＋sin x1－cos x.
　　解析　(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋exx.
　　(2)y′＝1＋sin x′1－cos x－1＋sin x1－cos x′1－cos x2
　　＝cos x1－cos x－1＋sin xsin x1－cos x2
　　＝cos x－sin x－11－cos x2.
　　.
　　（巩固训练）求下列函数的导数：
　　(1)y＝x2＋tan x;  (2)y＝xe－x.
　　解析：(1)因为y＝x2＋tan x＝x2＋sin xcos x，
　　所以y′＝(x2)′＋(sin xcos x)′＝2x＋cos2x－sin x－sin xcos2x＝2x＋1cos2x.
　　(2)因为y＝xe－x＝xex， 所以y′＝(xex)′＝ex－xexex2＝1－xex.
　　专题二　求切线的方程
　　利用导数的几何意义是切点处切线的斜率求切线方程。有如下三种类型：①已知切点(x0，y0)，求切线方程；②已知切线的斜率k，求切线方程；③求过(x1，y1)的切线方程．其中①是基本类型，类型②和类型③都可转化为类型①进行处理．
　　类型①，利用y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)直接求出切线方程．
　　类型②，设出切点(x0，y0)，再由k＝f′(x0)，再由(x0，y0)既在切线上，又在曲线上求解；
　　类型③，先设出切点(x0，y0)，利用k＝f′(x0)及已知点(x1，y1)在切线上求解．
　　例3函数f(x)＝ln x－2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为(　　)
　　A．2x－y－4＝0  B．2x＋y＝0
　　C．x－y－3＝0  D．x＋y＋1＝0
　　解析　f′(x)＝1－ln xx2，则f′(1)＝1，
　　故该切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.故选C.