《导数及其应用》复习教案7

约4130字。

　　专题三　利用导数求函数的单调区间
　　利用导数求可导函数的单调区间的一般步骤：
　　(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
　　(2)求f′(x)；
　　(3)解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0；
　　(4)不等式的解集与定义域取交集；
　　(5)确定并写出函数的单调递增区间或单调递减区间．
　　例1函数f(x)＝x2－2x－4ln x的单调递增区间是__________
　　【答案】(2，＋∞)
　　解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
　　f′(x)＝2x－2－4x＝2x2－2x－4x，
　　由f′(x)>0，得x2－x－2>0，解得x>2或x<－1(舍去)．
　　所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．
　　（巩固训练）已知函数f(x)＝ln x－（x－1）22，函数f(x)的单调递增区间为___________.
　　【答案】0，1＋52
　　解析：f′(x)＝1x－x＋1＝－x2＋x＋1x，x∈(0，＋∞).
　　由f′(x)＞0得x＞0，－x2＋x＋1＞0.  解得0＜x＜1＋52.
　　故f(x)的单调递增区间是0，1＋52.
　　例2若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是
　　A．(－∞，－2]       B．(－∞，－1]
　　C．[2，＋∞)         D．[1，＋∞)
　　解析　依题意得f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，
　　即k≥1x在(1，＋∞)上恒成立．
　　令g(x)＝1x，因为x>1，所以0<g(x)<1，
　　所以k≥1，即k的取值范围为[1，＋∞)．故选D
　　（巩固训练）若函数f(x)＝－x3＋x2＋tx＋t在区间(－1,1)内是增函数，则实数t的取值范围是___________.
　　【答案】　[5，＋∞)
　　解析：f′(x)＝－3x2＋2x＋t.
　　因为f(x)在(－1,1)内是增函数，所以f′(x)＝－3x2＋2x＋t≥0对x∈(－1,1)恒成立，
　　即t≥3x2－2x对x∈(－1,1)恒成立．
　　因为g(x)＝3x2－2x的图象是对称轴为x＝13，开口向上的抛物线，
　　所以当x∈(－1,1)时，g(x)<g(－1)＝5，于是t≥3x2－2x对x∈(－1,1)恒成立⇔t≥5.
　　所以t的取值范围为[5，＋∞)．
　　例3设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R. 令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
　　解析： 由f′(x)＝ln x－2ax＋2a.
　　可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)，
　　则g′(x)＝1x－2a＝1－2axx.
　　当a≤0时，x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；
　　当a＞0时，x∈0，12a时，g′(x)＞0时，函数g(x)单调递增，
　　x∈12a，＋∞时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减.
　　所以当a≤0时，g(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
　　当a＞0时，g(x)的单调增区间为0，12a，单调减区间为12a，＋∞