《直线与椭圆》教案

约1900字。

　　、2.4.1直线与椭圆
　　[教学目标]
　　1．掌握直线与椭圆相交的弦中点（或 等分点）问题；
　　2．渗透转化与化归，函数与方程（或方程组）的数学思想方法；
　　3．培养学生养成“先设计解决问题的方案，再运算”的解题思维；
　　[教学过程]
　　（一）复习引入
　　上节课我们研究了直线与椭圆是否相交，以及给定的直线与椭圆相交后的交点坐标、相交弦的 等分点坐标。我们了解到“研究两曲线的交点问题”可以转化为“方程组的解的问题”，即把几何问题转化为代数问题，这就涉及到两个问题：几何条件代数化（坐标化、代数式、代数方程）和代数运算的可行性与简洁性（合理的运算能力——参数的选取）。
　　（二）新课
　　今天我们来研究一下含有参数的直线与椭圆相交的问题，请看下面的例题：
　　已知直线 与椭圆 相交于不同的两点
　　（Ⅰ）若弦 中点 的横坐标为 ，求实数 的值；（ ）
　　[学生活动——5分钟]学生类比上节课的方法，
　　（1）将直线与圆锥曲线联立，消 得到：
　　（2）几何条件代数化——方程思想
　　[可能得到的解题结果]
　　（1）由于含有参数，无法解出具体的 两点的坐标，不知该如何.
　　（2）虽然含参，但可以用参数 表示 两点的坐标：
　　不妨设 ，
　　则   =      解得
　　(是否检验 ？运算是否简洁)
　　（3）由于含参，求 两点的坐标复杂，是否一定有这个必要？
　　根据题给条件分析 ，化简得  
　　是否可以直接找到 两点横坐标的和呢？（设计合理、简洁的运算）
　　由于 两点的横坐标均满足方程，即为方程的两根，联想一元二次方程的根系关系，即可得到：在 ，即 时（此处可以先控制参数范围，也可在计算出参数值后代入检验）
　　有    结合分析，可列出关于参数 的方程    解得