《抛物线及其标准方程》学案

约9720字。

　　2．3.1　抛物线及其标准方程
　　学习
　　目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.
　　2.会求简单的抛物线的方程.
　　重点
　　难点 通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
　　【探究点一】抛物线定义
　　如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.
　　问题1　画出的曲线是什么形状？
　　问题2　|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？
　　答案　是.AB是直角三角形的一条直角边.
　　问题3　点D在移动过程中，满足什么条件？答案　|DA|＝|DC|.
　　小结　平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
　　问题4　在抛物线定义中，条件“l不经过点F”去掉是否可以？
　　答案　在抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线.如到点F(1,0)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y－1＝0，轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线.
　　例1　方程2[(x＋3)2＋(y－1)2]＝|x－y＋3|表示的曲线是(　　)
　　A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
　　解析　原方程变形为(x＋3)2＋(y－1)2＝|x－y＋3|2，它表示点M(x，y)与点F(－3,1)的距离等于点M到直线x－y＋3＝0的距离. 根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线.
　　小结　根据式子的几何意义，利用抛物线的定义，可确定点的轨迹.注意定义中“点F不在直线l上”这个条件.
　　训练1　(1)若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是(　　)
　　A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线
　　(2)若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是(　　)
　　A.椭圆 B.双曲线      C.双曲线的一支 D.抛物线
　　【探究点二】抛物线的标准方程
　　问题1　结合求曲线方程的步骤，怎样求抛物线的标准方程？
　　答案　(1)建系：建立直角坐标系如图所示，设|KF|＝p (p>0)，那么焦点F的坐标为p2，0，准线l的方程为x＝－p2.