河北省张家口市第一中学2015-2016学年高二文科班数学学案选修1-1：双曲线及其标准方程

约7270字。

　　2.2 双曲线
　　2．2.1　双曲线及其标准方程
　　双曲线的定义
　　【问题导思】
　　取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？
　　【提示】　如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．
　　把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
　　【问题导思】
　　双曲线定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？
　　【提示】　双曲线的一支.
　　双曲线的标准方程
　　【问题导思】　
　　1．能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的方程？怎样推导？
　　【提示】　能．(1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系．
　　(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．
　　(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，
　　可得 x＋c2＋y2－x－c2＋y2＝±2a.
　　(4)化简：移项，平方后可得
　　(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．
　　令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为
　　x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．
　　2．双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？
　　【提示】　双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴：当x2系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关．
　　双曲线的标准方程
　　焦点在x轴上 焦点在y轴上
　　标准
　　方程 x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)w
　　y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)
　　焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
　　焦距 |F1F2|＝2c，c2＝a2＋b2
　　双曲线标准方程的理解
　　(2013•泰安高二检测)方程x24－k＋y2k－1＝1表示的曲线为C，给出下列四个命题：
　　①曲线C不可能是圆；
　　②若1＜k＜4，则曲线C为椭圆；
　　③若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4；
　　④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜52.
　　其中正确命题的序号是________．
　　【思路探究】　方程x24－k＋y2k－1＝1表示什么曲线？此时k的取值范围是多少？
　　【自主解答】　当4－k＝k－1＞0时，即k＝52时，曲线C是圆，∴命题①是假命题．对于②，当1＜k＜4且k≠52时，曲线C是椭圆，则②是假命题．
　　根据双曲线和椭圆定义及其标准方程，③④是真命题．
　　【答案】　③④
　　1．双曲线焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的系数为正；双曲线焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的系数为正．
　　2．在曲线方程x2m＋y2n＝1中，若m＝n＞0，则曲线表示一个圆；若m＞0，n＞0，且m≠n，则曲线表示一个椭圆；若mn＜0，则曲线表示双曲线．
　　若k∈R，则“k＞3”是“方程x2k－3－y2k＋3＝1表示双曲线”的(　　)
　　A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
　　C．充要条件  D．既不充分也不必要条件
　　【解析】　方程x2k－3－y2k＋3＝1表示双曲线的充要条件是(k－3)(k＋3)＞0，即k＜－3或k＞3；当k＞3时，一定有(k－3)(k＋3)＞0，但反之不成立．∴k＞3是方程表示双曲线的充分不必要条件．
　　【答案】　A
　　求双曲线的标准方程
　　已知双曲线上两点P1、P2的坐标分别为(3，－42)、(94，5)，求双曲线的标准方程．
　　【思路探究】　(1)当双曲线的焦点位置不确定时，应怎样求双曲线的方程？
　　(2)已知双曲线上两点的坐标，可将双曲线的方程设为怎样的形式，以便于计算？
　　【自主解答】　法一　若双曲线的焦点在x轴上，
　　设其方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．
　　根据题意得9a2－32b2＝1，8116a2－25b2＝1，
　　该方程组无解；
　　若双曲线的焦点在y轴上，
　　设其方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．