《椭圆及其标准方程》全章学案

约12310字。

　　鸡西市第十九中学学案
　　2015年（    ）月（    ）日                          班级    姓名       
　　2．1.1　椭圆及其标准方程(一)
　　学习
　　目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.
　　重点
　　难点 通过自己亲自动手尝试画图，发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养观察、辨析、归纳问题的能力.
　　通过经历椭圆方程的化简，增强战胜困难的意志并体会数学的简洁美、对称美，通过讨论椭圆方程推导的等价性，养成扎实严谨的科学态度.
　　引言　在生活中，我们对椭圆并不陌生.油罐汽车的贮油罐横截面的外轮廓线、天体中一些行星和卫星运行的轨道都是椭圆；灯光斜照在圆形桌面上，地面上形成的影子也是椭圆形的.在学习中，椭圆其实比圆更加让我们熟知，无论是数学中的0，还是字母中的O，我们都能看到椭圆的踪影.那么椭圆是怎样定义的呢？
　　【探究点一】椭圆的定义
　　问题　给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？
　　答案　固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键.
　　结论　平面内与两个定点F1、F2的距离之和是常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.两个定点F1、F2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为2c.若设M为椭圆上的任意一点，则|MF1|＋|MF2|＝2a.
　　【探究点二】椭圆的标准方程
　　问题1　观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程.
　　答案  (1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.
　　(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0)、F2(c,0).
　　(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为x＋c2＋y2＋x－c2＋y2＝2a.①
　　(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0).②
　　(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c，0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上.方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程.