《双曲线的简单几何性质》教案

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约1660字。

　　《双曲线的简单几何性质》教案
　　知识与技能目标
　　了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义．
　　过程与方法目标
　　（1）复习与引入过程
　　引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过 的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．2．2双曲线的简单几何性质．
　　（2）新课讲授过程
　　（i）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质．
　　提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
　　通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
　　（ii）双曲线的简单几何性质
　　①范围：由双曲线的标准方程得， ，进一步得： ，或 ．这说明双曲线在不等式 ，或 所表示的区域；
　　②对称性：由以 代 ，以 代 和 代 ，且以 代 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以 轴和 轴为对称轴，原点为对称中心；
　　③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；
　　④渐近线：直线 叫做双曲线 的渐近线；
　　⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率（ ）．
　　（iii）例题讲解与引申、扩展
　　例3 求双曲线 的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．
　　分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出 ．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在 轴上的渐近线是 ．