《合情推理与演绎推理》教案

约2930字，共3课时。

　　《合情推理与演绎推理》教案
　　合情推理
　　教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.
　　教学重点：能利用归纳进行简单的推理.
　　教学难点：用归纳进行推理，作出猜想.
　　教学过程：
　　一、新课引入：
　　1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.
　　2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对 ， ， ， ， 的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数 ，任何形如 的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现 不是素数，推翻费马猜想.
　　3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.
　　二、讲授新课：
　　1. 教学概念：
　　① 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.
　　② 归纳练习：(i)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？
　　(ii)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？
　　(iii)观察等式： ，能得出怎样的结论？
　　③ 讨论：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？
　　(ii)归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段）
　　(iii)归纳推理的结果是否正确？（不一定）
　　2. 教学例题：
　　① 出示例题：已知数列 的第1项 ，且 ，试归纳出通项公式.
　　（分析思路：试值n=1，2，3，4 → 猜想  →如何证明：将递推公式变形，再构造新数列）
　　②  思考：证得某命题在n＝n 时成立；又假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立. 由这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关系）
　　③ 练习：已知   ，推测 的表达式.