《导数的综合问题》教案

　　约4560字。
     导数的综合问题
　　●知识梳理
　　1.若函数f（x）有导数，它的极值可在方程 （x）=0的根处来考查，求函数y=f（x）的极值方法如下：
　　（1）求导数 （x）；
　　（2）求方程 （x）=0的根；
　　（3）检查 （x）在方程 （x）=0的根的左右的值的符号，如果左负右正，那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值；如果左正右负，那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值.
　　2.设y=f（x）是一多项式函数，比较函数在闭区间［a，b］内所有的极值，以及f（a）和f（b），最大者为最大值，最小者为最小值.
　　●点击双基
　　1.（2004年江苏，10）函数f（x）=x3－3x+1在闭区间［－3，0］上的最大值、最小值分别是
　　A.1，－1                   B.1，－17
　　C.3，－17                D.9，－19
　　解析： （x）=3x2－3=0，x=±1，f（－3）=－17，f（0）=1，f（1）=－1，f（－1）=3.
　　答案：C
　　2.函数f（x）=x3－3bx+3b在（0，1）内有极小值，则
　　A.0<b<1                B.b<1
　　C.b>0                D.b< 
　　解析：  （x）=3x2－3b，当b>0，0< <1时，适合题意.
　　答案：A
　　3.已知f（x）=2x3－6x2+m（m为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是
　　A.－37                B.－29
　　C.－5                D.以上都不对
　　解析： （x）=6x（x－2），f（x）在（－2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数的，x=0时，f（x）=m最大.
　　∴m=3，f（－2）=－37，f（2）=－5.
　　答案：A
　　4.已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=－1处有极大值，在x=3处有极小值，则a+b=________.
　　解析：y′=3x2+2ax+b，－1、3是3x2+2ax+b=0的两根，∴a=－3，b=－9.
　　答案：－12
　　5.设函数f（x）=x3－ －2x+5.若对任意x∈［－1，2］，都有f（x）>m，则实数m的取值范围是________.
　　解析： （x）=3x2－x－2=0，x=1，－ ，
　　f（－1）=5 ，f（－ ）=5 ，f（1）=3 ，f（2）=7.
　　∴m<3 .
　　答案：m∈（－∞， ）
　　●典例剖析
　　【例1】 （2004年天津，20）已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.
　　（1）讨论f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
　　（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程.
　　剖析：（1）分析x=±1处的极值情况，关键是分析x=±1左右 （x）的符号.
　　（2）要分清点A（0，16）是否在曲线上.
　　解：（1） （x）=3ax2+2bx－3，依题意， （1）= （－1）=0，即