《抛物线的几何性质》教案

约1470字。　　
    《抛物线的几何性质》教案
　　【教学目标】
　　1、掌握与抛物线过顶点的互相垂直的两弦有关的性质、特征与解法；
　　【教学重点】
　　【教学难点】
　　【教学过程】
　　一、 复习引入
　　1、复习抛物线的几何性质；
　　2、通径的概念及几何意义；
　　二、 讲解新课
　　【例1】 顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，一条直角边OA所在的直线方程为y=2x，斜边AB的长为5 ，求抛物线方程.
　　分析：可先设出抛物线方程，然后用待定系数法求p，其中还要用到两点间距离公式.
　　解：如图所示，设抛物线方程为y2=2px(p＞0)
　　由 得：A（ ,p)
　　∵OA⊥OB
　　∴直线OB的方程为y=— x
　　由 得：B（8p,—4p）
　　∵|AB|=5 
　　∴|AB|= 
　　∴p= 
　　所求抛物线方程为y2= .
　　【例2】 A、B是抛物线 （p>0）上的两点，满足 ，
　　（1）求证：A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别为定值。
　　（2）求证：直线AB过定点。
　　（3）求AB中点Ｍ的轨迹方程。
　　（4）求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程。§8.06：抛物线的简单几何性质（3）例.gsp
　　解：（1）设A ，B ，由 得： • +y1•y2=0
　　即y1•y2=－4p2，从而x1•x2= 
　　（2）由两点式方程可得AB的方程为：(y1+y2)y=2px+y1•y2
　　即(y1+y2)y=2px－4p2，令y=0,得x=2p；即直线AB过定点E(2p,0)
　　【思考】若直线AB过定点(2p,0)，且交抛物线 于A，B两点，OA，OB是否垂直？
　　（3）设AB的中点为M(x,y)，
　　则 ； 
　　消去 得： 　　（x≥2p）
　　（4）设N(x,y)，则由ON⊥AB得： ，即 ……①
　　又N点在直线AB上，所以N点的坐标适合AB的方程，
　　即(y1+y2)y=2px－4p2 ……②
　　由①②消去 得： 
　　解法2：由图易知：N点在以OE为直径的圆上。