《变化率问题》教案

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　　约1190字。
      山东省枣庄市舜耕中学高一数学选修1—1导学案(教师版)    编号：15   等级：    
　　周次 上课时间  月   日
　　周 课型 新授课 主备人 胡安涛 使用人 
　　课题 3.1.1变化率问题
　　教学目标 1.理解平均变化率的概念;
　　2.了解平均变化率的几何意义;
　　3.会求函数在某点处附近的平均变化率.
　　教学重点 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.
　　教学难点 平均变化率的概念.
　　课前准备 多媒体课件
　　一、【创设情境】
　　为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,
　　随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:
　　1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
　　2、求曲线的切线;
　　3、求已知函数的最大值与最小值;
　　4、求长度、面积、体积和重心等.
　　导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.
　　导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.
　　二、新课讲授
　　(一)问题提出
　　问题1 气球膨胀率
　　我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
　　气球的体积 (单位: )与半径 (单位: )之间的函数关系是 
　　如果将半径 表示为体积 的函数,那么 
　　分析:  
　　(1)当 从 增加到 时,气球半径增加了 
　　气球的平均膨胀率为 
　　(2)当 从 增加到 时,气球半径增加了 
　　气球的平均膨胀率为 
　　可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
　　思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?  
　　问题2 高台跳水
　　在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 (单位: )与起跳后的时间 (单位: )存在函数关系 .如何用运动员在某些时间段内的平均速 度粗略地描述其运动状态?
　　思考计算:  和 的平均速度 
　　在 这段时间里, 
　　在 这段时间里, 
　　探究: 计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
　　(1)运动员在这段时间内使静止的吗？
　　(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
　　探究过程: 如图是函数 的图像,
　　结合图形可知, ,所以 
　　虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ,