《极限的概念》教案

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　　约1430字  极  限 的 概 念
　　教学目的：理解数列和函数极限的概念；
　　教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；
　　教学难点：数列和函数极限的理解
　　教学过程：
　　一、实例引入：
　　例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子•天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第 天剩余的木棒长度 (尺)，并分析变化趋势；（2）求前 天截下的木棒的总长度 (尺)，并分析变化趋势。
　　观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数 无限增大时，数列的项 无限趋近于某个常数A（即 无限趋近于0）。 无限趋近于常数A，意指“ 可以任意地靠近A，希望它有多近就有多近，只要 充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点 到A的距离 可以任意小。
　　二、新课讲授
　　1、数列极限的定义：
　　一般地，如果当项数 无限增大时，无穷数列 的项 无限趋近于某个常数A（即 无限趋近于0），那么就说数列 的极限是A，记作
　　
　　注：①上式读作“当 趋向于无穷大时， 的极限等于A”。“  ∞”表示“ 趋向于无穷大”，即 无限增大的意思。 有时也记作当  ∞时，  A
　　②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________
　　③思考：是否所有的无穷数列都有极限？
　　例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由
　　（1）1， ， ，…， ，… ；（2） ， ， ，…， ，…；
　　（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…， ，…；
　　（5）－1,1，－1，…， ，…；  
　　注：几个重要极限：
　　（1）           （2） （C是常数）
　　（3）无穷等比数列 （ ）的极限是0，即 ： 
　　2、当 时函数的极限
　　（1） 画出函数 的图像，观察当自变量 取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当 趋向于正无穷大时，函数 
　　的极限是0，记作： 
　　一般地，当自变量 取正值且无限增大时，如果函数
　　的值无限趋近于一个常数A，就说当 趋向于正无穷大时，函数 的极限是A，记作： 
　　也可以记作，当  时， 
　　（2）从图中还可以看出，当自变量 取负值而 无限增大时，函数 的值无限趋近于0，这时就说，当 趋向于负无穷大时，函数 的极限是0，记作： 
　　一般地，当自变量 取负值而 无限增大时，如果函数 的值无限趋近于一个常数A，就说当 趋向于负无穷大时，函数 的极限是A，记作： 
　　也可以记作，当  时， 
　　（3）从上面的讨论可以知道，当自变量 的绝对值无限增大时，函数 的值都无限趋近于0，这时就说，当 趋向于无穷大时，函数 的极限是0，记作 
　　一般地，当自变量 的绝对值无限增大时，如果函数 的值无限趋近于一个常数A，就说当 趋向于无穷大时，函数 的极限是A，记作：