《函数的单调性与极值》教案

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　　约1420字 函数的单调性与极值
　　教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
　　掌握利用导数判断函数单调性的方法；
　　教学重点：利用导数判断函数单调性；
　　教学难点：利用导数判断函数单调性
　　教学过程：
　　一 引入：
　　以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)<f(x2)与的大小，在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.
　　二 新课讲授
　　1 函数单调性
　　我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数 的图像可以看到：在区间（2， ）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即 >0时，函数y=f(x) 在区间（2， ）内为增函数；在区间（ ，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即  0时，函数y=f(x) 在区间（ ，2）内为减函数.
　　定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内 >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内 <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。
　　例1 确定函数 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。
　　例2 确定函数 的单调区间。
　　
　　2 极大值与极小值
　　观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。
　　一般地，设函数y=f(x)在 及其附近有定义，如果 的值比 附近所有各点的函数值都大，我们说f( )是函数y=f(x)的一个极大值；如果 的值比 附近所有各点的函数值都小，我们说f( )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。
　　在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：
　　（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
　　（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
　　（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 是极大值点， 是极小值点，而 > 。