《导数的背景》教案

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　　约1390字 导数的背景
　　教学目标　　理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义
　　教学重点　　瞬时速度、切线的斜率、边际成本
　　教学难点　　极限思想
　　教学过程
　　一、导入新课
　　1.　瞬时速度
　　问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？
　　析：大家知道，自由落体的运动公式是 （其中g是重力加速度）.
　　当时间增量 很小时，从3秒到（3＋ ）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.　因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.
　　从3秒到（3＋ ）秒这段时间内位移的增量：
　　
　　从而， .
　　从上式可以看出， 越小， 越接近29.4米/秒；当 无限趋近于0时， 无限趋近于29.4米/秒.　此时我们说，当 趋向于0时， 的极限是29.4.
　　当 趋向于0时，平均速度 的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.
　　一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物体在t到（t＋ ）这段时间内的平均速度为 .　如果 无限趋近于0时， 无限趋近于某个常数a，就说当 趋向于0时， 的极限为a，这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.
　　2.　切线的斜率
　　问题2：P（1,1）是曲线 上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.
　　析：设点Q的横坐标为1＋ ，则点Q的纵坐标为（1＋ ）2，点Q对于点P的纵坐标的增量（即函数的增量） ，
　　所以，割线PQ的斜率 .
　　由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时， 变得越来越小， 越来越接近2；当点Q无限接近于点P时，即 无限趋近于0时， 无限趋近于2.　这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.　我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线.　由点斜式，这条切线的方程为： .
　　一般地，已知函数 的图象是曲线C，P（ ），Q（ ）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线