《椭圆的简单几何性质》教学案例

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　　数学《椭圆的简单几何性质》教学案例
　　江苏省锡山高级中学    陈春芳
　　【教学目标】
　　1、学生会画具体的椭圆的图形，分析图形特征，从而归纳出椭圆的几何性质；
　　2、根据椭圆的标准方程，学生能用代数方法验证所得出的几何性质；               
　　3、学生能用得出的几何性质解决有关椭圆的离心率、长轴、短轴等问题。
　　【教学实录】
　　1.1创设情境，激发兴趣
　　（用多媒体显示图片）
　　图1： 国家大剧院         图2：鸟巢           图3：神七运行轨道
　　教师：上节课我们学习了椭圆的定义、图形和标准方程。其实椭圆在我们生活中有着广泛的应用，比如建筑学（国家大剧院、鸟巢、神七运行轨道）、光学、运动学等，这节课我们来共同研究椭圆的性质。类比圆的几何特征来研究椭圆的几何性质。请大家拿出课前画好了椭圆的纸，你能发现椭圆有哪些性质吗？
　　众生：通过折纸，我发现椭圆是轴对称图形，好像也是中心对称图形。
　　教师：很好，还有其他新发现吗？
　　学生1：椭圆上的点在一个矩形里，而且两条对称轴与这个矩形还有四个交点。
　　教师：对，椭圆上的点在一定的范围内，而且还有四个特殊的点。刚才我们通过观察发现了椭圆的一些性质，那么下面我们进一步通过代数的方法进行验证。
　　1.2问题引动，探究新知
　　问题1、椭圆 有哪些几何性质？请你根据方程用代数的方法证明你得出的结论。
　　（学生分组讨论、共同探究。教师巡视，不一会儿有学生举手。）
　　学生2：我们组对椭圆的对称性找到了证明方法。
　　教师：那你将自己的成果展示给大家看一下。
　　学生2：以 代 ，以 代 发现方程不变，因此关于 轴、 轴和原点对称。（学生在黑板板书过程）。
　　教师：大家对这个过程有疑问吗？
　　众生：没有。
　　教师：图形的对称其实是由图形上每个点对称所形成的，因此，证明是我们只要从点的坐标入手即可，还有其他结论吗？
　　学生3：我们组会证明椭圆上点的坐标的取值范围。
　　根据方程 ，可得 ，这个式子要有意义，则 ，同理可得 。
　　教师：太出色了，这位同学用函数的思想解决了这个问题，只是应该有一点修改， ，这个尽管不是函数，但是，要使式子有意义，则根式里面应该非负。
　　学生4：老师我有不同的方法，我根据椭圆的图形及标准方程求出椭圆与坐标轴的交点（最左、右、上、下的点）的坐标分别为 ， ，其他点都在这四个点里面，因此可以得到坐标的范围 ， 。
　　教师：这位同学非常棒，他们充分利用图形和方程，结合“数”和“形”两个方面同时考虑。这四个点便是椭圆的顶点。其中线段 分别叫做长轴和短轴。长轴是过椭圆的中心的直线与椭圆相交所得的最长的线段，短轴是过椭圆的中心的直线与椭圆相交所得的最短的线段（有兴趣的同学课后可以用函数的方法证明）。 分别叫做椭圆的长半轴长和