《圆锥曲线》复习教案7

约3750字。

　　专题一　圆锥曲线的定义及标准方程
　　圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．
　　求圆锥曲线的标准方程的一般步骤是“先定位，后定量”，“定位”是指确定焦点的位置及对称轴，“定量”是指确定参数的大小．掌握求曲线方程的常用方法    定义法与待定系数法。
　　例1一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为(　　)
　　A.x28＋y26＝1 B.x216＋y26＝1
　　C.x28＋y24＝1 D.x216＋y24＝1
　　解析　由|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝2a＝4c，得a＝2c，
　　4a2＋3a2－c2＝1，得a＝22，b＝6，因此，椭圆的标准方程为x28＋y26＝1.故选A.
　　（巩固训练）抛物线y2＝2px(p＞0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则(　　)
　　A．x1，x2，x3成等差数列　　B．y1，y2，y3成等差数列
　　C．x1，x3，x2成等差数列  D．y1，y3，y2成等差数列
　　解析：如图，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义：
　　|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.
　　因为2|BF|＝|AF|＋|CF|，
　　所以2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.
　　又因为|AA′|＝x1＋p2，|BB′|＝x2＋p2，|CC′|＝x3＋p2，
　　所以2x2＋p2＝x1＋p2＋x3＋p2⇒2x2＝x1＋x3.故选A
　　例2已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　　)
　　A.x25－y220＝1 B.x220－y25＝1
　　C.3x225－3y2100＝1 D.3x2100－3y225＝1
　　解析　由题意可得ba＝2，c＝5，所以c2＝a2＋b2＝5a2＝25，解得a2＝5，b2＝20，则所求双曲线的方程为x25－y220＝1.
　　（巩固训练）已知双曲线中心在原点，一个焦点为F1(－5，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为(0，2)，则此双曲线的方程是______________.
　　【答案】　x2－y24＝1
　　解析：由双曲线的焦点可知c＝5，因为线段|PF1|的中点坐标为(0，2)，所以设右焦点为F2，则有PF2⊥x轴，且|PF2|＝4，点P在双曲线右支上.所以|PF1|＝（25）2＋42＝36＝6，
　　所以|PF1|－|PF2|＝6－4＝2＝2a，
　　所以a＝1，b2＝c2－a2＝4，所以双曲线的方程为x2－y24＝1.
　　例3抛物线y2＝8x的焦点F与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)右焦点重合，又P为两曲线的一个公共交点，且|PF|＝5，则双曲线的实轴长为(　　)
　　A.1       B.2           C.17－3 D.6
　　解析　抛物线y2＝8x的焦点F(2，0)，由题知：
　　P(3，±26).又双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0).
　　所以由双曲线的定义知：
　　2c＝|PF1|－|PF2|＝52＋（26）2－1＋（26）2＝7－5＝2.故选B。
　　（巩固训练）已知P是双曲线x264－y236＝1上一点，F1，F2是双曲线的左，右焦点，且|PF1|＝17，则|PF2|＝________.