《不等式选讲》全章教案

约14600字。

　　《不等式选讲》全章教案
　　选修4-5   不等式选讲
　　课    题：　第01课时    不等式的基本性质
　　目的要求：
　　重点难点：
　　教学过程：
　　一、引入：
　　不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
　　本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
　　人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
　　生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
　　分析：起初的糖水浓度为 ，加入m克糖 后的糖水浓度为 ，只要证 > 即可。怎么证呢?
　　二、不等式的基本性质：
　　1、实数的运算性质与大小顺序的关系：
　　数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：
　　得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
　　2、不等式的基本性质：
　　①、如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b。(对称性)
　　②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>c a>c。
　　③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>b a+c>b+c。
　　推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b， c>d  a+c>b+d．
　　④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac<bc．
　　⑤、如果a>b >0，那么  (n N，且n>1)
　　⑥、如果a>b >0，那么  (n N，且n>1)。