《不等式选讲》学案

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约1560字。

　　《不等式选讲》学案
　　基础自测
　　1.不等式ax2+bx+2＞0的解集是 ,则a-b=          .
　　答案  -10
　　2.在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={（x，y）|x+y≤1，且x≥0,y≥0}，则平面区域B={（x+y，x-y）|（x，y）∈A}的面积为         .
　　答案  1
　　3.设x,y满足x+4y=40且x,y都是正数，则lgx+lgy的最大值是          .
　　答案  2
　　4.已知h＞0,设命题甲：两个实数a,b满足|a-b|＜2h;命题乙：两个实数a,b满足|a-1|＜h,且|b-1|＜h.那么甲是
　　乙的             条件.
　　答案  必要不充分
　　例1  若a,b∈R,求证： ≤ + .
　　证明  当|a+b|=0时，不等式显然成立.
　　当|a+b|≠0时，由0＜|a+b|≤|a|+|b|
　　≥ ,
　　所以 =
　　≤
　　=
　　≤ + .
　　例2  （2008•苏中三市调研）已知x、y、z均为正数.
　　求证： ≥ + + .
　　证明  因为x,y,z全为正数.
　　所以 ( + )≥ ,
　　同理可得 ≥ , ≥ ,
　　当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立.
　　将上述三个不等式两边分别相加，并除以2,
　　得 ≥ + + .
　　例3  已知x1,x2,…,xn都是正数，且x1+x2+…+xn=1,求证：  + +…+ ≥n2.
　　证明    + +…+
　　=(x1+x2+…+xn)（  + +…+ ）
　　≥ =n2.
　　例4  （2008•盐城调研）（14分）已知x、y、z均为实数，
　　（1）若x+y+z=1,求证： + + ≤3 ；
　　（2）若x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值.
　　（1）证明  因为（ + + ）2
　　≤(12+12+12)(3x+1+3y+2+3z+3)=27.
　　所以 + + ≤3 .                                                  7分
　　(2)解  因为(12+22+32)(x2+y2+z2)
　　≥(x+2y+3z)2=36,
　　即14(x2+y2+z2)≥36,
　　所以x2+y2+z2的最小值为 .                                                            14分