《圆锥曲线》复习教案6（文）

约4400字。

　　专题四　圆锥曲线的定值与定点问题
　　解答圆锥曲线中的定值(定点)问题时，首先要明确哪些量是固定的，哪些量是变动的，选择其中一个或几个起关键作用的量作为参数，以参数来表示需要研究定值(定点)的量，看是否能消去参数得到定值(定点)即可．
　　例1设椭圆E:x2a2＋y21－a2＝1的焦点在x轴上.
　　(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;
　　(2)设F1，F2分别是椭圆E的左,右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.
　　解析　(1)因为焦距为1,所以2a2-1=14 ,解得a2=58. 故椭圆E的方程为8x25＋8y23＝1.
　　(2)设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=2a2－1
　　由题设知x0≠c,则直线F1P的斜率k F1P ＝y0x0+c ,
　　直线F2P的斜率k F2P ＝y0x0－c .故直线F2P的方程为y=y0x0－c (x-c).
　　当x=0时,y=cy0c－x0 ,即点Q的坐标为(0,cy0c－x0 ).
　　因此,直线F1Q的斜率为k F1Q =y0c－x0 .
　　由于F1P⊥F1Q,所以k F1P k F1Q =y0c－x0 y0x0+c =-1.
　　化简得y20=x20 －(2a2－1).①
　　将①代入椭圆E的方程,由于点P(x0,y0)在第一象限,
　　解得x0=a2,y0=1-a2,即点P在定直线x+y=1上.
　　（巩固训练）已知动圆C过定点(1，0)，且与直线x＝－1相切.
　　(1)求动圆圆心C的轨迹方程；
　　(2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当tan α•tan β＝1时，求证直线AB恒过一定点M，并求M坐标.
　　解析：　(1)设动圆圆心M(x，y)，依题意点M的轨迹是以(1，0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x.
　　(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
　　由题意得x1≠x2且x1x2≠0，则x1＝y214，x2＝y224，
　　所以直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋b，
　　则将y＝kx＋b与y2＝4x联立消去x，得ky2－4y＋4b＝0.
　　由根与系数关系得y1＋y2＝4k，y1y2＝4bk，
　　因为tan α•tan β＝1，所以y1x1•y2x2＝1，x1x2－y1y2＝0，
　　解得y1y2＝16，又y1y2＝4bk所以b＝4k；
　　因此直线AB的方程可表示为y＝kx＋4k，
　　所以直线AB恒过定点M(－4，0).
　　例2.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，焦距为22.
　　(1)求椭圆C的方程；
　　(2)过动点M(0，m)(m＞0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.
　　①设直线PM、QM的斜率分别为k、k′，证明k′k为定值.
　　②求直线AB的斜率的最小值.
　　解析：(1)　设椭圆的半焦距为c.
　　由题意知2a＝4，2c＝22.
　　所以a＝2，b＝a2－c2＝2.
　　所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1.
　　(2)①证明　设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0).
　　由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，－2m).
　　所以直线PM的斜率k＝2m－mx0＝mx0.
　　直线QM的斜率k′＝－2m－mx0＝－3mx0.
　　此时k′k＝－3.所以k′k为定值－3.
　　②解　设A(x1，y1)，B(x2，y2).
　　直线PA的方程为y＝kx＋m.
　　直线QB的方程为y＝－3kx＋m.联立y＝kx＋m，x24＋y22＝1，
　　整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0，
　　由x0x1＝2m2－42k2＋1，可得x1＝2（m2－2）（2k2＋1）x0，
　　所以y1＝kx1＋m＝2k（m2－2）（2k2＋1）x0＋m.
　　同理x2＝2（m2－2）（18k2＋1）x0，y2＝－6k（m2－2）（18k2＋1）x0＋m.
　　所以x2－x1＝2（m2－2）（18k2＋1）x0－2（m2－2）（2k2＋1）x0
　　＝－32k2（m2－2）（18k2＋1）（2k2＋1）x0，
　　y2－y1＝－6k（m2－2）（18k2＋1）x0＋m－2k（m2－2）（2k2＋1）x0－m
　　＝－8k（6k2＋1）（m2－2）（18k2＋1）（2k2＋1）x0，