《直线与椭圆的位置关系》教学设计

约1690字。

　　直线与椭圆的位置关系
　　______弦长公式的探究
　　北京市第十中学 冯永霞
　　教学目标：
　　（1）会判断直线与椭圆的位置关系,理解直线与椭圆相交所得的弦长公式;
　　（2）通过求弦长具体实例，发现求弦长的一般规律，体验从特殊到一般的认识规律；
　　（3）通过几何关系与代数运算的不断转化，感悟解析几何基本思想，培养学生逻辑推理能力和运算能力.
　　教学重点：直线与椭圆的弦长公式探究
　　教学难点：从特殊到一般规律的发现，“数”和“形”之间的相互转化.
　　教学过程：
　　教师：直线与圆有哪些位置关系？如何判断？
　　学生：直线与圆的位置关系及其判定：
　　几何方法： 相离、 相切、 相交.
　　代数方法：方程组 无解相离、有唯一解相切、有两组解相交.
　　教师：由于圆的特殊性，几何方法显得简单，而代数方法具有一般性.自然引出下面问题.类比直线和圆，直线与椭圆有哪些位置关系？
　　（板书： ： ，E: ）
　　学生：直线与椭圆有三种位置关系：相离、相切、相交.或直线与椭圆的公共点个数可能是零个、一个、两个.
　　教师：当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆相离；当有一个公共点时，称直线与椭圆相切，这条直线叫椭圆的一条切线；当直线与椭圆有两个公共点时，称直线与椭圆相交.（板书：相离、相切、相交）
　　板书课题：直线椭圆位置关系
　　教师：请大家研究下面问题如何解决
　　判断出直线 与椭圆E： 的位置关系是_______
　　学生1：画图，直线与y的交点（0, 1）在椭圆内部，所以直线与椭圆相交.
　　学生2：由（板书） ，得 ,
　　，直线与椭圆相交.
　　教师：（学生思考解答时，教师画出椭圆）学生1的方法简捷明了，使得我们对问题有了直观的认识，为什么多数同学没有这样解答呢？从“数形结合”是思考问题的首选。
　　但我们的认识不能停留在此，要进一步深入；如果将直线改为 ，在化草图的情况下方法1就不适合了，而方法2具有一般性.（板书
　　消去y得 ， .