《直线和椭圆的位置关系》复习教案

约7930字。

　　直线和椭圆的位置关系
　　【基础知识梳理】
　　一、直线 与圆锥曲线 的位置关系的判断
　　判断直线 与圆锥曲线 的位置关系时，通常将直线 的方程 代入曲线 的方程 ，消去 （或者 ）得到关于 （或 ）的一元二次方程，即 ，消去 后得 .
　　（1）当 时，直线 与圆锥曲线 有一个交点，此时，若曲线 为双曲线，则直线 与双曲线的渐近线平行；若曲线 为抛物线，则直线 与抛物线的对称轴平行（或顶点且与抛物线对称轴垂直）。
　　（2）当 时，若 ，直线 与曲线 有两个不同的交点；若 ，直线 与曲线 有一个交点（注意不一定相切）；若 ，直线 与曲线 相离（无交点）。
　　二、圆锥曲线的弦
　　定义：连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦。
　　直线 ： ，曲线 ： ， 为直线 与曲线 的两个不同交点，则 是方程组 的两组解，消去 （或者 ）得 .其中 是方程的两根，由根与系数的关系（韦达定理）可得
　　弦长公式：
　　或 。
　　三、已知弦 的中点，研究 的斜率与方程
　　（1） 是椭圆 的一条弦， 的中点 ，则直线 的斜率为 。运用点差法求直线 的斜率：设 是椭圆上不同的两点，则 ，两式相减得 ，整理得
　　。
　　（2）类似的，若 是双曲线 的一条弦， 的中点 ，则 ；若曲线是抛物线 ，则 。
　　【典例解析】
　　【题型一】直线与圆锥曲线的位置关系
　　（1）直线与圆锥曲线有两个不同交点的判定：①联立方程组消元，得到一个一元二次方程，△>0；②数形结合，例如直线与双曲线有两个不同交点，可通过直线与双曲线的一条渐近线平行得到。
　　（2）直线与圆锥曲线有一个交点的判定：数形结合，直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切。
　　【典例1】已知椭圆 及直线 ．
　　（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？
　　（2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程．