柯西不等式的证明及相关应用

约3840字。

　　柯西不等式的证明及相关应用
　　摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。
　　关键词：柯西不等式  柯西不等式变形式   最值   
　　一、柯西（Cauchy）不等式：
　　等号当且仅当 或 时成立（k为常数， ）            
　　现将它的证明介绍如下：
　　方法1   证明：构造二次函数
　　=
　　由构造知     恒成立            
　　又
　　即
　　当且仅当   即 时等号成立
　　方法2    证明:数学归纳法
　　（1） 当 时     左式=         右式=
　　显然      左式=右式
　　当 时        右式  
　　左式                                          
　　故 时 不等式成立 
　　（2）假设  时，不等式成立
　　即 
　　当  ，m为常数，  或 时等号成立
　　设A=      B=      
　　则
　　当  ，m为常数，  或 时等号成立
　　即   时不等式成立
　　综合（1）（2）可知不等式成立
　　二、柯西不等式的简单应用
　　柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，常通过适当配凑，直接套用柯西不等式解题，常见的有两大类型：