（山东卷解析版2）2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理）

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共22道小题，约6210字。

　　（山东卷）2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理）
　　1． 复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为(　　)
　　A．2＋i  B．2－i  C．5＋i  D．5－i
　　1．D　[解析] 设z＝a＋bi，(a，b∈)，由题意得(a＋bi－3)(2－i)＝(2a＋b－6)＋(2b－a＋3)i＝5，即2a＋b－6＝5，2b－a＋3＝0，解之得a＝5，b＝1，∴z＝5－i.
　　2． 已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
　　A．1  B．3  C．5  D．9
　　2．C　[解析] ∵x，y∈0，1，2，∴x－y值只可能为－2，－1，0，1，2五种情况，∴集合B中元素的个数是5.
　　3． 已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝(　　)
　　A．－2  B．0  C．1  D．2
　　3．A　[解析] ∵fx为奇函数，∴f－1＝－f(1)＝－12＋11＝－2.
　　4． 已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　)
　　A.5π12  B.π3  C.π4  D.π6
　　4．B　[解析] 设侧棱长为a，△ABC的中心为Q，联结PQ，由于侧棱与底面垂直，
　　∴PQ⊥平面ABC，即∠PAQ为PA与平面ABC所成的角．又∵VABC－A1B1C1＝34×32×a＝94，解得a＝3，∴tan ∠PAQ＝PQAQ＝332×3×23＝3，故∠PAQ＝π3.
　　5． 将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为(　　)
　　A.3π4  B.π4  C．0  D．－π4
　　5．B　[解析] 方法一：将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移π8个单位后得到f(x)＝sin2x＋π4＋φ的图像，若f(x)＝sin2x＋π4＋φ为偶函数，必有π4＋φ＝kπ＋π2，k∈，当k＝0时，φ＝π4.
　　方法二：将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移π8个单位后得到f(x)＝sin2x＋π4＋φ的图像，其对称轴所在直线满足2x＋π4＋φ＝kπ＋π2，k∈，又∵f(x)＝sin2x＋π4＋φ为偶函数，∴y轴为其中一条对称轴，即π4＋φ＝kπ＋π2，k∈，当k＝0时，φ＝π4.
　　6． 在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x－y－2≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为(　　)
　　A．2  B．1  C．－13  D．－12
　　6．C　[解析] 不等式组表示的可行域如图，联立x＋2y－1＝0，3x＋y－8＝0，解得P3，－1，
　　当M与P重合时，直线OM斜率最小，此时kOM＝－1－03－0＝－13.
　　图1－1
　　7． 给定两个命题p，q，若 p是q的必要而不充分条件，则p是 q的(　　)
　　A．充分而不必要条件 
　　B．必要而不充分条件 
　　C．充要条件 
　　D．既不充分也不必要条件
　　7．A　[解析] ∵ p是q的必要不充分条件，∴q是 p的充分而不必要条件，又“若p，则 q”与“若q，则 p”互为逆否命题，∴p是 q的充分而不必要条件．
　　8． 函数y＝xcos x＋sin x的图像大致为(　　)
　　图1－2
　　8．D　[解析] ∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x＋sin x)＝－f(x)，∴y＝xcos x＋sin x为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B.当x＝π2时，y＝1>0，排除选项C；x＝π，y＝－π<0，排除选项A；故选D.
　　9． 过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)
　　A．2x＋y－3＝0  B．2x－y－3＝0
　　C．4x－y－3＝0  D．4x＋y－3＝0
　　9．A　[解析] 方法一：设点P(3，1)，圆心为C，设过点P的圆C的切线方程为y－1＝kx－3，由题意得|2k－1|1＋k2＝1，解之得k＝0或43，即切线方程为y＝1或4x－3y－9＝0.联立y＝1，x－12＋y2＝1， 得一切点为1，1，又∵kPC＝1－03－1＝12，∴kAB＝－1kPC＝－2，即弦AB所