高中数学选修2-2全册教案

约47610字。

　　教学过程：
　　一．创设情景
　　为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
　　一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
　　二、求曲线的切线;
　　三、求已知函数的最大值与最小值;
　　四、求长度、面积、体积和重心等。
　　导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
　　导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
　　二．新课讲授
　　（一）问题提出
　　问题1 气球膨胀率
　　我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
　　 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
　　 如果将半径r表示为体积V的函数,那么
　　分析:  ，
　　⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了
　　气球的平均膨胀率为
　　⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了
　　气球的平均膨胀率为
　　可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
　　思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 
　　问题2  高台跳水
　　在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 度粗略地描述其运动状态?
　　思考计算： 和 的平均速度
　　在 这段时间里， ；
　　在 这段时间里，
　　探究：计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
　　⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
　　⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
　　探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ，
　　所以 ，
　　虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
　　（二）平均变化率概念:
　　1．上述问题中的变化率可用式子   表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
　　2．若设 ,   (这里 看作是对于x1的一个“增量”可用x1+ 代替x2,同样 )
　　3． 则平均变化率为 
　　思考：观察函数f(x)的图象
　　平均变化率  表示什么?
　　直线AB的斜率
　　三．典例分析
　　例1．已知函数f(x)= 的图象上的一点 及临近一点 ,则          ．
　　解： ，
　　∴
　　例2． 求 在 附近的平均变化率。
　　解： ，所以
　　所以 在 附近的平均变化率为
　　四．课堂练习
　　1．质点运动规律为 ，则在时间 中相应的平均速度为          ．
　　2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
　　3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
　　五．回顾总结
　　1．平均变化率的概念
　　2．函数在某点处附近的平均变化率
　　六．布置作业