《柯西不等式》学案

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约1230字。

　　选修4-5学案          柯西不等式         姓名     
　　☆学习目标：   1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明;
　　2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题
　　☻知识情景：
　　1. 柯西主要贡献简介：
　　柯西（Cauchy），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家.  他奠定
　　了数学分析的理论基础.  数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值
　　定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.
　　2.二维形式的柯西不等式： 若 ，
　　则                                        .
　　当且仅当                  时, 等号成立.
　　变式10. 若 ，则 或 ；
　　变式20.  若 ，则  ；
　　变式30.（三角形不等式）设 为任意实数，则：
　　3. 一般形式的柯西不等式：设 为大于1的自然数， ( 1,2,…, )，
　　则：                                 .
　　当且仅当                        时, 等号成立.
　　(若 时，约定 ， 1,2,…, ).
　　变式10.  设  则：  .
　　当且仅当                        时, 等号成立.
　　变式20. 设   则： .
　　当且仅当 时,等号成立.
　　变式30.  (积分形式)设 与 都在 可积，
　　则 ，
　　当且仅当 时,等号成立.
　　如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重
　　要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面
　　都有联系.  所以, 它的重要性是不容置疑的！
　　☆ 柯西不等式的应用：
　　例1. 已知实数  满足 ，  . 试求 的最值