《圆锥曲线概念》单元教学设计

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约3920字。

　　谈圆锥曲线概念的单元教学设计
　　一、问题的提出
　　圆锥曲线的概念教学，通常是以机械画法引入的，也有的教师先讲海尔•波普彗星的运动轨迹等天体现象，或者拿出一个圆锥模型让学生观察截面的形状，再由机械画法引出定义以及焦点的概念。这样的教学是教师直接地、生硬地把概念“抛”给了学生。尤其是“焦点”，更像是“从天而降”；而对焦点为何成为焦点，学生却不明所以，更不知其内在的规律和联系的必然性。
　　回顾多年来数学教材与数学课堂教学改革，人们一直在寻求一种或多种更加有效的使学生获得圆锥曲线概念的途径与方法。
　　《全日制普通高级中学教科书•数学》（人民教育出版社出版的2004年6月1日第一版）第二册（上）中，首先在章头图中给出了平面截圆锥所得截面图，并在章头语中用文字介绍了海尔•波普彗星以及其他星体的运行轨道，让学生通过阅读了解圆锥曲线在我们生活中是客观存在的。通过示范性的画图（将一根绳子的两端固定在平面上的两个定点，画一个椭圆），让学生通过观察得出椭圆的定义；用“和”与“差”的置换提出问题，并通过画图直观感受满足条件的点的轨迹的几何特征来引入双曲线；抛物线的引入则是通过对椭圆、双曲线的离心率的研究提出来，再用画图的方式感受其几何特征。应该说，这样的设计体现了一定的数学探究的过程以及三者之间的内在联系。然而，过于直观的“抛出”，缺少了学生对“形”的体验过程和对数学的“发现”过程，分散的探究也影响了学生对圆锥曲线整体的认识。
　　《普通高中课程标准实验教科书•数学（选修1-1）》（江苏教育出版社出版的2005年6月1日第一版）中，教材的编写者试图改善以上的缺憾，首先通过对圆锥截面的直观感受与理性研究，让学生对圆锥曲线有个整体的认识（整体给出圆锥曲线的概念）。然而，从对椭圆的“证明”过程来看，难度太大（怎么想到的？)，而且椭圆的“焦点”实际上也是通过教材“抛”给学生的（一个封闭的图形为什么会与这样的两个点有关？这两点又是怎么找到的？)；而双曲线、抛物线的概念更是直接抛给了学生（如果再用证明的方法，过程更加繁杂！)，没有能够真正实现原有课程设计的目标。
　　本文试图在此基础上，本着从学生的实际（生活实际与基本数学知识与活动经验）出发，设计了一系列的实验操作活动（学生产生思考的基础），让学生获得体验与思考，从而抽象出数学概念（数学发现和数学创造），并在用概念解决问题的过程中进一步理解、巩固概念，发展思维。
　　二、圆锥曲线概念的单元教学设计
　　1.观察操作——直观感知
　　(1)观察图1，从中你看到了什么图形？
　　图1
　　观察是学生了解事物、引发思考的最基础的数学学习活动。由于学生已经有了学习圆的经历，因此学生一般会发现其中与圆以及生活等有关的一些结论，如“好像两个点波”“两个同心圆系”“同一圆系中的相邻两个圆之间的距离相等”“不同圆系中的两个圆有的相离，有的相交，也有的相切”……
　　善于观察的学生会“发现图形中隐藏着许多曲线”……
　　可以设计以下游戏活动，让更多的学生“观察”到其中“隐藏着的许多曲线”。
　　(2)按照如下步骤操作，你发现了什么？
　　第一步：如图2(1)中的方法，选择一个曲边菱形区域，将其涂黑；
　　第二步：选择已经涂黑的曲边菱形区域的一个对顶曲边菱形区域，将其涂黑；
　　不断重复第二步（注意选取对项区域的方向一致，如图2(2))；
　　……
　　图2
　　(3)不管是从哪个曲边菱形区域开始，最终得到的图形可以归结为以下两类：如果选择左右型两侧对顶区域，生成的图形如图3；如果选择上下型两侧对顶区域，生成的图