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- 2011/8/13 8:21:45
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江苏省2012年中考数学精品复习讲义
二次函数
◆知识讲解
①一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．
②当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．
③二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－ ， ）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．
④二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=－ ，最值为 ，（k>0时为最小值，k<0时为最大值）．由此可知y=ax2的顶点在坐标原点上，且y轴为对称轴即x=0．
⑤抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着y轴（上“＋”，下“－”）平移k（k>0）个单位得到函数y=ax2±k，将y=ax2沿着x轴（右“－”，左“＋”）平移h（h>0）个单位得到y=a（x±h）2．在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减（右减左加）．
⑥在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点．
⑦抛物线y=ax2+bx+c的图像位置及性质与a，b，c的作用：a的正负决定了开口方向，当a>0时，开口向上，在对称轴x=－ 的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴x=－ 的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最小值为y= ，顶点（－ ， ）为最低点；当a<0时，开口向下，在对称轴x=－ 的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴x=－ 的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最大值为y= ，顶点（－， ）为最高点．│a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小，图像两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图像两边越靠近x轴；a，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a，b同号时，对称轴x=－ <0，即对称轴在y轴左侧，垂直于x轴负半轴，当a，b异号时，对称轴x=－ >0，即对称轴在y轴右侧，垂直于x轴正半轴；c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y轴交于正半轴；c<0时，与y轴交于负半轴，以上a，b，c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．
◆例题解析
例1 （2011湖南湘潭市，25，10分）（本题满分10分）
如图，直线 交 轴于A点，交 轴于B点，过A、B两点的抛物线交 轴于另一点C（3,0）.
⑴ 求抛物线的解析式;
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c。
∵直线 交 轴于A点，交 轴于B点，
∴A点坐标为（-1,0）、B点坐标为（0,3）.
又∵抛物线经过A、B、C三点，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．
（2）∵y=-x2+2x+3= ，∴该 抛物线的对称轴为x=1．
设Q点坐标为（1，m），则 ，又 .
当AB=AQ时， ，解得： ，
∴Q点坐标为（1， ）或（1， ）；
当AB=BQ时， ，解得： ，
∴Q点坐标为（1，0）或（1，6）；
当AQ=BQ时， ，解得： ，
∴Q点坐标为（1，1）．
∴抛物线的对称轴上是存在着点Q（1， ）、（1， ）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使△ABQ是等腰三角形．
例2（2011湖北荆州，22，9分）（本题满分9分）如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴是，B（4,2），一次函数 的图象平分它的面积，关于x的函数 的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值.
第22题图
【答案】 解：过B作BE⊥AD于E，连结OB、CE交于 点P，
∵P为矩形OCBE的对称中心，则过P点的直线平分矩形OCBE的面积.
∵P为OB的中点，而B（4，2）∴P点坐标为（2，1）
在Rt△ODC与Rt△EAB中，OC＝BE，AB＝CD
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