《数学归纳法的应用举例》教案

约3390字。

　　数学归纳法的应用举例教案
　　教学内容：
　　探索某些数列问题的结论，并用数学归纳法给出证明．
　　教学目标：
　　1．使学生初步掌握运用归纳、猜想等合情推理方法，并结合数学归纳法，探索、发现某些数列问题的结论；
　　2．通过问题结论的探求，培养学生的探索发现能力、逻辑思维能力和抽象概括能力；
　　3．通过既教猜想又教证明，培养学生思维的灵活性、批判性和科学性．
　　设计思想
　　本节课内容是数学归纳法的重要应用之一．由于欲证明的是猜想的结果，而归纳、猜想的基础是个别试验．据此，本节课可按试验───归纳───猜想───证明的程序对具体问题展开探索研究．
　　教学过程
　　一、课题引入
　　由一类新问题的探索引入课题．老师指出：关于数学归纳法，前几节课我们用它来证明了一类与自然数有关的等式、不等式以及整除性问题和几何问题，并且欲证的结论在命题中都已明确给出．然而，另有一类问题，欲证明的结论是未知的（如本章教学指导库三中的例6），这给我们证明问题带来了困难．那么用怎样的方法才能有效地探索解决这类问题呢？这是我们今天要研究的课题───归纳、猜想、证明（师边说边板书课题）．
　　二、知识讲解
　　本节课的教学目的之一是引导学生学习运用归纳、猜想等合情推理方法，探索某些数列问题的结论，并利用数学归纳法给出科学的证明．牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现，”布鲁纳说：“探索是数学的生命线”，这些大科学家和心理学家的哲理名言，无疑启示我们应当既教证明又教猜想，在大力推进素质教育的今天尤其如此．个别试验是归纳、猜想的基础，由于猜想所得的结论未必可靠，因而借助于数学归纳法的证明来鉴别结论的正确与否是必由之路．据此，解决本节课所提出的问题（如本章教学指导库三中的例6）的基本模式是：
　　试验───归纳───猜想───证明．
　　三、例题分析
　　为既教猜想，又教证明，教学生探索问题，发现真理，可选配如下例题：
　　例1．设数列 的前n项和为Sn，试求S1，S2，S3，S4的值，由此猜想出Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．
　　分析：本例的求解思路题目中已经给出了明示：即（1）分别求出S1，S2，S3，S4；（2）由（1）中的结果猜出Sn的表达式；（3）对猜想用数学归纳法加以证明．显然，如何根据S1，S2，S3，S4的值的规律，合理地猜想出Sn的表达式是解决问题的关键．
　　解：S1= ，