- 适用分类
- 高中教案 / 选修四教案
- 教材版本
- 人教版
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- 更新时间
- 2011/1/28 14:04:08
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约4140字。第四讲：数学归纳法证明不等式
数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一，包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤，用数学归纳法证明不等式。数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位。
本讲主要复习数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。
在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：
（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；
（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；
（3）活用起点的位置；
（4）有的试题需要先作等价变换。
例题精讲
例1、用数学归纳法证明
分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法定义，证明基本步骤
证明：
1°当n=1时，左边=1-=，右边==，所以等式成立。
2°假设当n=k时，等式成立，
即。
那么，当n=k+1时，
这就是说，当n=k+1时等式也成立。
综上所述，等式对任何自然数n都成立。
点评：
数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P（n）．（1）证明当n取第一个值n0时，结论正确，即验证P（n0）正确；（2）假设n=k（k∈N且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P（k）正确推出P（k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P（n）对于从n0开始的所有自然数n都正确．
要证明的等式左边共2n项，而右边共n项。f(k)与f(k+1)相比较，左边增加两项，右边增加一项，并且二者右边的首项也不一样，因此在证明中采取了将与合并的变形方式，这是在分析了f(k)与f(k+1)的差异和联系之后找到的方法。
练习：
1.用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( )
A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4
解析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.答案：C
2.用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中n∈N
证明：
(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除
(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，
42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3
=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)
∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除
∴当n=k+1时也成立.
由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.
例2、求证：．
分析：该命题意图：本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤。
用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．
证明：
（1）当n=2时，右边=，不等式成立．
（2）假设当时命题成立，即
．
则当时，
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