《柯西不等式与排序不等式》教案

 约1720字。

　　柯西不等式与排序不等式
　　一、基本概念：
　　（一）定理1：二维形式的柯西不等式
　　若 都是实数，则 ，当且仅当 时，等号成立.
　　证明：（一）代数证明：
　　当且仅当 时，等号成立.
　　（二）向量证明：构造向量 ，则有
　　其坐标形式即为
　　当且仅当 共线或 时等号成立，即当且仅当 时，等号成立.
　　推论1： （来源于向量证明中）
　　推论2： （将原式中 都变为 ）
　　定理2：柯西不等式的向量形式
　　设 是两个向量，则 当且仅当 是零向量，或存在实数 ，使 时，等号成立.
　　证明：上述向量证明已经说明完毕
　　定理3：二维形式的三角不等式
　　设 ，那么
　　证明：
　　即 原命题的证
　　（二）一般形式的柯西不等式
　　设 是实数，则
　　当且仅当 或存在一个数 ，使得 时，等号成立.
　　简记作：平方和的乘积大于等于乘积和的平方
　　分析：我们可以利用空间向量很容易证明出三维形式的柯西不等式 ，但维数再高时就没有几何模型可以构造证明了，那么如何证明这一重要的不等式呢？
　　证明：（一）构造二次函数： ，
　　（二）归纳法和平均值不等式：
　　（1）当 时，有
　　即命题成立
　　（2）假设当 时命题成立，当 时，由于
　　由平均值不等式，得