2.1《随机变量及其概率分布》教案1

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　　约1850字 2.1随机变量及其概率分布（1）
　　教学目标
　　（1）在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念；
　　（2）会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；
　　（3）感受社会生活中大量随机现象都存在着数量规律，培养辨证唯物主义世界观． 
　　教学重点，难点
　　（1）理解取有限值的随机变量及其分布列的概念；
　　（2）初步掌握求解简单随机变量的概率分布．
　　教学过程
　　一．问题情境
　　在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数 是 0，1，…，10中的某个数；
　　抛掷一颗骰子，向上的点数 是1，2，3，4，5，6中的某一个数；
　　新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果 是0和1中的某个数；
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　　上述现象有哪些共同特点？
　　二．学生活动
　　上述现象中的 ， ， ，实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数，即在试验结果（样本点）与实数之间建立了一个映射．
　　例如，上面的植树问题中成活的树苗棵数 ： ，表示成活0棵； ，表示成活1棵；……
　　三．建构数学
　　1．随机变量：
　　一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母 ， ， （或小写希腊字母 ， ， ）等表示，而用小写拉丁字母 ， ， （加上适当下标）等表示随机变量取的可能值．
　　如：上面新生婴儿的性别 是一个随机变量， ，表示新生婴儿是男婴； ，表示新生婴儿是女婴．
　　例1．（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用 表示掷得正面的次数，则随机变量 的可能取值有哪些？
　　（2）一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为 ，则随机变量 的可能取值有哪些？
　　解 （1）抛掷硬币是随机试验，结果有两种可能，一种是正面向上，另一种是反面向上，所以变量 的取值可能是1（正面向上），也可能是0（反面向上），故随机变量 的取值构成集合{0，1}．
　　（2）根据条件可知，随机变量 的可能值有4种，它的取值集合是{1，2，3，4}． 
　　说明：(1)引入了随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示．
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　　(2) 在例1（1）中，随机事件“掷一枚硬币，正面向上”可以用随机变量表示为 ，随机事件“掷一枚硬币，反面向上”可以用随机变量表示为 ．
　　(3) 在例1（2）中，也可用 ， ， ， 分别表示取到1号、2号、3号和4号白鼠这4个随机事件．另一方面，在例1（2）中，可以用 这样的记号表示“取到1号、2号或3号白鼠”这件事情，也就是说，复杂的事件也可以用随机变量的取值来表示．
　　这样，我们就可以用随机事件发生的概率来表示随机变量取值的概率了．如例1（1）中 的概率可以表示为     ，其中 常简记为 ．同理， ．这一结果可用表2-1-1来描述．
　　
　　0 1
　　
　　
　　
　　例1（2）中随机变量 所表示的随机事件发生的概率也可用表2-1-2来描述．
　　
　　1 2 3 4
　　
　　
　　
　　
　　
　　上面的两个表格分别给出了随机变量 ， 表示的随机事件的概率，描述了随机变量的分布规律．
　　2．随机变量的概率分布：
　　一般地，假定随机变量 有 个不同的取值，它们分别是 ， ，…， ，且 ， ，① 则称①为随机变量 的概率分布列，简称为 的分布列．也可以将①用表2-1-3的形式来表示．
　　
　　
　　
　　…  
　　
　　
　　
　　…  
　　我们将表2-1-3称为随机变量 的概率分布表．它和①都叫做随机变量 的概率分布．
　　3．随机变量分布列的性质：
　　（1） ；         （2） ．
　　四．数学运用
　　1．例题：
　　例2．从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用 表示“取到的白球个数”，即  求随机变量 的概率分布．
　　解 由题意知 ， ，故随机变量 的概率分布列为 ， ，概率分布表如下．
　　
　　0 1
　　
　　
　　
　　说明：1．本题中，随机变量 只取两个可能值0和1．像这样的例子还有很多，如在射击中，只考虑“命中”与“不命中”；对产品进行检验时，只关心“合格”与“不合格”等．我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布，并记为 ~0-1分布或 ~两点分布．此处“~”表示“服从”．
　　2．求随机变量 的分布列的步骤：
　　（1）确定 的可能取值 ；（2）求出相应的概率 ；（3）列成表格的形式。
　　例3  若随机变量 的分布列为：试求出常数 ．
　　
　　０ １
　　
　　
　　
　　解：
　　由随机变量分布列的性质可知： ，解得 。
　　变式：设随机变量 的分布列为 ，求实数 的