《不等式证明四法（比较法、综合法、分析法、反证法与放缩法）》教案

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　　约3660字 不等式证明一（比较法）
　　比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法。比较法分为：作差法和作商法
　　一、 作差法
　　若a，b∈R，则： a－b＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜b
　　它的三个步骤：作差——变形——判断符号（与零的大小）——结论. 
　　作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左—右的符号，从而降低了问题的难度。作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论.
　　例1、求证：x2 + 3 > 3x
　　证：∵(x2 + 3) - 3x =  
　　∴x2 + 3 > 3x
　　例2、 （课本P22例2）已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证： 
　　证： 
　　∵a,b,m都是正数，并且a<b，∴b + m > 0 ,  b - a > 0
　　∴     即： 
　　变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？
　　例3、 已知a, b都是正数，并且a ¹ b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
　　证：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 ) 
　　= a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)
　　= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)
　　∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0
　　又∵a ¹ b，∴(a - b)2 > 0   ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0
　　即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
　　例4、 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m ¹ n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？
　　解：设从出发地到指定地点的路程为S，甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，
　　则：   可得： 
　　∴ 
　　∵S, m, n都是正数，且m ¹ n，∴t1 - t2 < 0   即：t1 < t2
　　从而：甲先到到达指定地点。
　　例4是一道利用不等式解决实际问题的例题.我们先用类比列方程解应用题的步骤，然后参考列方程解应用题的步骤，分析题意，设未知数，找出数量关系(函数关系、相等关系或不等关系)，列出函数关系、等式或不等式，求解，作答等.整个解答过程体现了比较法解决不等关系等实际问题中发挥着重要的作用.
　　变式：若m = n，结果会怎样？
　　二、 作商法. 
　　若a>0，b>0，则： ＞1 a＞b； ＝1 a＝b； ＜1 a＜b
　　它的三个步骤：作商——变形——判断与1的大小——结论.
　　作商法是当不等式两边为正的乘积形式时，通过作商把其转化为证明左/右与1的大小。
　　例5、设a, b Î R+，求证： （左≥右为课本P22例3）
　　证：先证不等式左≥中：由于要比较的两式呈幂的结构，故结合函数的单调性，故可采用作商比较法证明.
　　作商：  ，由指数函数的性质
　　当a = b时， 
　　当a > b > 0时， 
　　当b > a > 0时，  
　　即 
　　（中≥右请自己证明，题可改为a, b Î R+，求证： ）
　　作业补充题：
　　1.已知 ,求证： 
　　2 求证： 
　　3.已知 求证： 
　　4.已知c＞a＞b＞0，求证 .
　　5.已知a、b、c、d都是正数，且bc＞ad，求证 .
　　不等式证明二（综合法）
　　三、 综合法：
　　从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。（也叫顺推证法或由因导果法）
　　例1、已知a, b, c是不全相等的正数，
　　求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc
　　分析：不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以运用基本不等式：a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右边有三正数a,b,c的“积”，我们可以运用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc. 
　　证：∵b2 + c2 ≥ 2bc ,  a > 0 ,  ∴a(b2 + c2) ≥ 2abc
　　同理：b(c2 + a2) ≥ 2abc ,  c(a2 + b2) ≥ 2abc
　　∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) ≥ 6abc