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- 2017/12/15 18:24:06
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高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质学案（打包27套）新人教A版必修4
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1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1．了解利用正弦线作正弦函数图象的方法．
2．掌握正、余弦函数的图象，知道它们之间的关系．
3．会用“五点法”画正、余弦函数的图象．
1．正、余弦函数图象的画法
(1)几何法：利用正弦线画函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，是把角x的____向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．
y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向____、____平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．
(2)五点法：用“五点法”作函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象的步骤是：
①列表：
x 0 π2
π 3π2
2π
y＝sin x 0 1 0 －1 0
②描点：在平面直角坐标系中描出五点：(0,0)，______，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．
③用______顺次连接这五个点，得正弦曲线在[0,2π]上的简图．
①“五点法”只是画出y＝sin x和y＝cos x在[0,2π]上的图象．
②若x∈R，可先作出正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的图象，然后通过左、右平移可得到y＝sin x和y＝cos x的图象．
【做一做1－1】 用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( )
A.π6，12 B.π2，1 C．(π，0) D．(2π，0)
【做一做1－2】 用五点法画y＝cos x，x∈[0,2π]的图象时，这五个点的纵坐标的和等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
2．正弦曲线、余弦曲线
(1)定义：正弦函数y＝sin x，x∈R和余弦函数y＝cos x，x∈R的图象分别叫做____曲线和____曲线．
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
互动课堂
疏导引导
1.周期性
(1)周期函数:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)正弦函数的周期
从正弦线的变化规律可以看出,正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)是它的周期,最小正周期是2π.
正弦函数的周期也可由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)得到.由sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)可知当自变量x的值每增加或减少2π的整数倍时,正弦函数值重复出现,即正弦函数具有周期性,且周期为2kπ(k∈Z),最小正周期为2π.
类似地,可以探索余弦函数的周期为2kπ,最小正周期为2π.
2.奇偶性
(1)正弦函数y=sinx(x∈R)是奇函数,
①由诱导公式 sin(-x)=-sinx可知上述结论成立.
②反映在图象上,正弦曲线关于原点O对称.
③正弦曲线是中心对称图形,其所有对称中心为(kπ,0);正弦曲线也是轴对称图形,其所有对称轴方程为x=kπ+ ,k∈Z.
(2)余弦函数的奇偶性与对称性
①奇偶性:由诱导公式知cos(-x)=cosx,可知余弦函数是偶函数,它的图象关于y轴对称.
②对称性:余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标是(kπ+ ,0)(k∈Z);余弦曲线是轴对称图形,其所有的对称轴方程是x=kπ(k∈Z).
3.单调性
(1)正弦函数的单调性
1.4 三角函数的图象与性质（第1课时）
预习导航
课程目标 学习脉络
1.了解利用正弦线作正弦函数图象的方法．
2．掌握正弦函数、余弦函数的图象，知道它们之间的关系．
3．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象.
1．正、余弦函数解析式
函数 解析式 定义域
正弦函数 y＝sin x R
余弦函数 y＝cos x R
2．正弦线法画图象
(1)可以利用单位圆中的正弦线作y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．
(2)y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．
思考1为什么把y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向左、向右平移2π的整数倍个单位长度图象形状不变？
提示：由公式sin(x＋2kπ)＝sin x，k∈Z可得．
3．正弦曲线、余弦曲线
(1)定义：正弦函数y＝sin x，x∈R和余弦函数y＝cos x，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
(2)图象：如图所示．
1.4 三角函数的图象与性质
知识梳理
1.正弦函数、正切函数的图象都可借助单位圆中的三角函数线作出.
2.正弦曲线与余弦曲线的关系
我们知道y=cosx=sin( +x)(x∈R)，由此可知，余弦函数y=cosx的图象与正弦函数y=sin( +x)(x∈R)的图象相同，于是把正弦曲线向左平移 个单位就可得到余弦函数的图象.
3.一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.
4.正弦、余弦、正切函数的主要性质
函数性质 y=sinx y=cosx y=tanx
定义域 R R {x|x≠ +kπ,k∈Z}
值域 ［-1，1］ ［-1，1］ R
周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 增区间 ［ +2kπ, +2kπ］
(k∈Z)
［-π+2kπ,2kπ］(k∈π, +2kπ)
(k∈Z)
减区间 ［ +2kπ, +2kπ］(k∈π,2kπ+π］(k∈Z) 无
对称性 对称中心 (kπ,0)(k∈π+ ,0)(k∈ ,0)(k∈Z)
对称轴 x=kπ+ (k∈π(k∈Z) 无
知识导学
要学好本节内容，可借助一定的实例展现正弦函数的图象，对这类函数图象有一个直观的了解.利用单位圆中的正弦线画出y=sinx在一个周期内的图象，再经平移得出y=sinx（x∈R）的图象，然后利用诱导公式经过平移变换得出y=cosx的图象.从观察图象上的关键点，体会“五点法”画简图的方法.借助图象的支持来学习正、余弦函数性质.通过展示三角函数具有f(x+T)=f(x)的特征，由此引入函数周期性，体会周期性是三角函数的重要性质.对于正切函数，可以先认识其性质，再画图象，为此在图象产生后，可以反过过来利用图象观察性质.
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