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- 人教版
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- 2015/12/16 15:33:13
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第3章函数的应用
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新课标人教版A必修1第3章函数的应用 方程的根与函数的零点 学案.doc
3．1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
[学习目标] 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系．
[知识链接]
考察下列一元二次方程与对应的二次函数：
(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；
(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；
(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.
你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？
答案
方程 x2－2x－3＝0 x2－2x＋1＝0 x2－2x＋3＝0
函数 y＝x2－2x－3 y＝x2－2x＋1 y＝x2－2x＋3
函数的图象
方程的实数根 x1＝－1，x2＝3 x1＝x2＝1 无实数根
函数的图象与
x轴的交点 (－1,0)、(3,0) (1,0) 无交点
[预习导引]
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系；
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点存在的判定方法
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)•f(b)＜0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
温馨提示 判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)•f(b)＜0不一定成立．
……
第三章 3.1 3.1.1
基础巩固
一、选择题
1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )
[答案] A
[解析] 没有零点就是函数图象与x轴没有交点，故选A.
2．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为( )
A．(0,2) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[答案] C
[解析] 令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32＋2－3＝log323＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞0，所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)，故选C.
3．函数f(x)＝lnx－1x－1的零点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 如答图所示，易知y＝lnx与y＝1x－1的图象有两个交点．
4．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)•f(b)<0则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一的实根
[答案] D
5．下列函数中，在[1,2]上有零点的是( )
A．f(x)＝3x2－4x＋5 B．f(x)＝x3－5x－5
C．f(x)＝lnx－3x＋6 D．f(x)＝ex＋3x－6
[答案] D
[解析] A：3x2－4x＋5＝0的判别式Δ<0，
∴此方程无实数根，∴f(x)＝3x2－4x＋5在[1,2]上无零点．
B：由f(x)＝x3－5x－5＝0得x3＝5x＋5.
在同一坐标系中画出y＝x3，x∈[1,2]与y＝5x＋5，x∈[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点．
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