山东省济宁市学而优教育咨询有限公司高三数学一轮复习专项训练：数列求和

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约6100字。

考点一　分组转化法求和
　　1、已知数列{an}的通项公式是an＝2•3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前n项和Sn.
　　解　Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3，
　　所以当n为偶数时，
　　Sn＝2×1－3n1－3＋n2ln 3＝3n＋n2ln 3－1；
　　当n为奇数时，
　　Sn＝2×1－3n1－3－(ln 2－ln 3)＋n－12－nln 3
　　＝3n－n－12ln 3－ln 2－1.
　　综上所述，Sn＝3n＋n2ln 3－1，n为偶数，3n－n－12ln 3－ln 2－1，n为奇数.
　　2、在等比数列{an}中，已知a1＝3，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3.
　　(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
　　(2)记cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前n项和Sn.
　　解　(1)设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d.
　　由已知，得a2＝3q，a3＝3q2，b1＝3，b4＝3＋3d，b13＝3＋12d，
　　故3q＝3＋3d，3q2＝3＋12d⇒q＝1＋d，q2＝1＋4d⇒q＝3或1(舍去)．
　　所以d＝2，所以an＝3n，bn＝2n＋1.
　　(2)由题意，得cn＝(－1)nbn＋an＝(－1)n(2n＋1)＋3n，
　　Sn＝c1＋c2＋…＋cn
　　＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[(－1)n－1(2n－1)＋
　　(－1)n(2n＋1)]＋3＋32＋…＋3n.
　　当n为偶数时，Sn＝n＋3n＋12－32＝3n＋12＋n－32；
　　当n为奇数时，Sn＝(n－1)－(2n＋1)＋3n＋12－32＝3n＋12－n－72.
　　所以Sn＝3n＋12＋n－32，n为偶数，3n＋12－n－72，n为奇数.
　　3．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为 (　　)．
　　A．2n＋n2－1  B．2n＋1＋n2－1
　　C．2n＋1＋n2－2  D．2n＋n－2
　　解析　Sn＝21－2n1－2＋n1＋2n－12＝2n＋1－2＋n2.
　　答案　C
　　4．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1•n，则S17＝
　　(　　)．
　　A．9  B．8              C．17  D．16
　　解析　S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.
　　答案　A
　　5．已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．
　　(1)求数列{an}的通项公式；
　　(2)若bn＝an＋log21an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的n的最小值．
　　解　(1)设等比数列{an}的公比为q，依题意，有
　　2a1＋a3＝3a2，a2＋a4＝2a3＋2，
　　即a12＋q2＝3a1q，a1q＋q3＝2a1q2＋4，①②
　　由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2.
　　当q＝1时，不合题意，舍去；
　　当q＝2时，代入②得a1＝2，所以an＝2•2n－1＝2n.
　　故所求数列{an}的通项公式an＝2n(n∈N*)．
　　(2)bn＝an＋log21an＝2n＋log212n＝2n－n.
　　所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n
　　＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)
　　＝21－2n1－2－n1＋n2＝2n＋1－2－12n－12n2.
　　因为Sn－2n＋1＋47<0，
　　所以2n＋1－2－12n－12n2－2n＋1＋47<0，
　　即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10.
　　因为n∈N*，故使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值为10.
　　6．已知在正项等比数列{an}中，a1＝1，a2a4＝16，则|a1－12|＋|a2－12|＋…＋|a8