数列求和

约9310字。

　　数列求和
　　数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的试题，对于等差数列，等比数列的求和主要是运用公式；某些既不是等差数，也不是等比数列的求和问题，一般有以下四种常用求和技巧和方法。
　　13＋23＋33＋…＋n3＝_ _________
　　类型一 公式法
　　1、直接用等差、等比数列的求和公式求和
　　2、能直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和，立方和公式寻求和的方法。
　　3、等差数列的前n项和求和公式：  
　　4、等比数列的前n项和求和公式：  
　　考题解析
　　例1、差数列 的前 项和为 ,若 （　　）
　　A．12      B．10      C．8      D．6  
　　例2、已知等比数列 的公比 ，其前n项和为 ，则 与 的大小关系为（   ）
　　A、 >          B、 <         C、 ＝       D、不能确定
　　变式一、已知等比数列 }的前n项和 ，则 等于（    ）
　　A、            B、         C、         D、
　　例3、设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.
　　(1)若首项 32 ，公差 ，求满足 的正整数k；
　　(2)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有 成立.
　　提示：(1)不妨设 ，则得 ，由 可得 ，考虑到k为正整数，从而 ，也即 ，又 所以 ，因为 ，从而 为所求.
　　(2) 由于“对于一切正整数k都有 成立”，为此只需寻求 即可.由(1)可知 .考虑到对一切正整数k都有 成立，故只需 解之得① 或② 或③ 又 从而可得① 或② 或③ 故满足题意的无穷等差数列有：① ；② ；③ .
　　(3)
　　变式一、已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an－n2＋3n(n∈N*)．
　　(1)求a2，a3的值；
　　(2)数列{an＋λn2＋μn}是公比为2的等比数列，求λ，μ的值；
　　(3)在(2)的条件和结论下，设bn＝1an＋n－2n－1，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，证明：Sn＜53.
　　解：(1)由题意得a2＝2a1－12＋3＝2－1＋3＝4，a3＝2a2－22＋6＝8－4＋6＝10.
　　(2)∵数列{an＋λn2＋μn}是公比为2的等比数列，即an＋1＋λ(n＋1)2＋μ(n＋1)＝2(an＋λn2＋μn)，
　　而an＋1＝2an－n2＋3n，代入得
　　2an－n2＋3n＋λ(n＋1)2＋μ(n＋1)＝2(an＋λn2＋μn)，
　　即λn2＋(μ－2λ)n－λ－μ＝－n2＋3n，
　　故λ＝－1μ－2λ＝3－λ－μ＝0，解得λ＝－1μ＝1.
　　(3)证明：由(2)得an－n2＋n＝(a1－12＋1)•2n－1＝2n－1，
　　∴an＝2n－1＋n2－n，故bn＝1an＋n－2n－1＝1n2.
　　∵bn＝1n2＝44n2＜44n2－1＝22n－1－22n＋1，
　　∴n≥2时，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＜1＋(23－25)＋(25－27)＋…＋(22n－1－22n＋1)＝1＋23－22n＋1＜53.
　　又b1＝1＜53，∴Sn＜53(n∈N*)．