湖北省荆州市沙市第五中学高一数学必修五第三章第二节《一元二次不等式及其解法》学案

约5950字。

　　高一数学必修五第三章第二节：一元二次不等式及其解法
　　导学案
　　命制学校：沙市五中 命制教师：高一数学组
　　学习目标:理解一元二次不等式的概念及其与二次函数、一元二次方程的关系。初步树立“数形结合次函数、一元二次方程的关系。
　　学法指导：发现、讨论法；数形结合。”的观念。掌握一元二次不等式的解法及步骤。
　　学习重点、难点：一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的关系；一元二次不等式的解法及其步骤。
　　知识链接：
　　一元二次不等式的概念
　　[提出问题]
　　观察下列不等式：
　　(1)x2>0；(2)－x2－2x≤0；(3)x2－5x＋6>0.
　　问题1：以上给出的3个不等式，它们含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？
　　提示：它们只含有一个未知数，未知数的最高次数都是2.
　　问题2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点？
　　提示：形如ax2＋bx＋c>0(或≤0)，其中a，b，c为常数，且a≠0.
　　[导入新知]
　　1．一元二次不等式
　　我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．
　　2．一元二次不等式的解与解集
　　使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.
　　[化解疑难]
　　1．定义的简单应用：判断一个不等式是否为一元二次不等式，应严格按照定义去判断，即未知数只有1个，未知数的最高次数是2，且最高次的系数不能为0.
　　2．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.
　　一元二次不等式的解法
　　[提出问题]
　　已知：一元二次函数y＝x2－2x，一元二次方程x2－2x＝0，一元二次不等式x2－2x＞0.
　　问题1：试求二次函数与x轴交点坐标
　　提示：(0,0)、(2,0)
　　问题2：一元二次方程根是什么？
　　提示：x1＝0，x2＝2.
　　问题3：问题1中的坐标与问题2中的根有何内在联系？
　　提示：交点的横坐标为方程的根．
　　问题4：观察二次函数图象，x满足什么条件，图象在x轴上方？
　　提示：x＞2或x＜0.
　　问题5：能否利用问题4得出不等式x2－2x＞0，x2－2x＜0的解集？
　　提示：能，不等式的解集为{x|x＞2或x＜0}，{x|0＜x＜2}．
　　[导入新知]
　　一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表
　　判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
　　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根x1，x2，(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－b2a
　　没有实数根
　　二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
　　ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 x|x<x1或x>x2}
　　x|x≠－b2a
　　R
　　ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 x|x1<x<x2
　　∅ ∅
　　[化解疑难]
　　一元二次方程的根对应于二次函数图象与x轴的交点，一元二次不等式的解对应于二次函数图象在x轴上方(下方)，或在x轴上的点，由此得出二次函数图象的开口方向及与x轴的交点情况确定的一元二次不等式的图象解法，这样就形成了二次函数与一元二次方程相结合的解一元二次不等式的方法．