《数列》全章导学案

约30050字。

　　鸡西市第十九中学学案
　　2015年（    ）月（    ）日                          班级    姓名       
　　2.1 数列概念与简单表示法(一)
　　学习
　　目标 1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型．
　　2．探索并掌握数列的几种简单表示法．
　　3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．
　　重点
　　难点 1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念．
　　2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法．
　　3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式．
　　先看下面的几组例子：
　　(1)全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，…；
　　(2)正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，12，13，14，15；
　　(3)π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排成一列数：3,3.1,3.14,3.141，…；
　　(4)无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，…；
　　(5)当n分别取1,2,3,4,5，…时，(－1)n的值排成一列数：－1,1，－1,1，－1，….
　　请你根据上面的例子尝试给数列下个定义．
　　【数列的概念】
　　按照一定顺序排列的一列数称为    ，数列中的每一个数叫做这个数列的   ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第   项．
　　探究　数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质？
　　(1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；
　　(2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；
　　(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
　　(4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．
　　【数列的几种表示方法】
　　数列的一般形式可以写成a1,a2,…,an,…,简记为     ．
　　项数有限的数列叫做     数列，项数无限的数列叫做_____数列．
　　除了列举法外，数列还可以用公式法、列表法、图象法来表示．
　　探究　下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整．
　　(1)数列：1,3,5,7,9，…
　　①用公式法表示：an＝            ；   
　　②用列表法表示：
　　n 1 2 3 4 5 …
　　an …
　　③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)：
　　(2)数列：1，12，13，14，15，…
　　①用公式法表示：an＝         .
　　②用列表法表示：
　　n 1 2 3 4 5 …
　　an 1 12
　　13
　　14
　　15
　　…
　　③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)：
　　【数列的通项公式】
　　如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的     公式．
　　和函数不一定有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．一个数列的通项公式不唯一，可以有不同的表现形式，an＝(－1)n－1可以写成an＝(－1)n＋1，还可以写成
　　an＝1(n为奇数)，－1(n为偶数).
　　探究　根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式．下表中的一些基本数列，你能准确快速地写出它们的通项公式吗？
　　数列 通项公式
　　－1,1，－1,1，… an＝      
　　1,2,3,4，… an＝  
　　1,3,5,7，… an＝     
　　2,4,6,8，… an＝  
　　1,2,4,8，… an＝     
　　1,4,9,16，… an＝  
　　1，12，13，14，…
　　an＝  
　　例1　根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项．
　　(1)an＝cos nπ2；               (2)bn＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n(n＋1).
　　小结　由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复杂，应考虑运算化简后再求值．
　　训练1　根据下面数列的通项公式，写出它的前4项．
　　(1)an＝2n＋1；                 (2)bn＝－1＋(－1)n2.
　　例2　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
　　(1)1，－3,5，－7,9，…；   (2)12，2，92，8，252，…；  (3)9,99,999,9 999，…；(4)0,1,0,1，….
　　小结　据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．
　　训练2　写出下列数列的一个通项公式：
　　(1)212，414，618，8116，…；   (2)0.9,0.99,0.999,0.999 9，…；    (3)－12，16，－112，120，….
　　例3　已知数列{an}的通项公式an＝(－1)n(n＋1)(2n－1)(2n＋1).
　　(1)写出它的第10项；        (2)判断233是不是该数列中的项．
　　小结　判断某数列是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n的值，若存在正整数n，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项．
　　训练3　已知数列{an}的通项公式为an＝1n(n＋2)(n∈N*)，那么1120是这个数列的第______项．