《数的扩充》学案

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约2540字。

　　§2　数的扩充
　　你知道数学史上的“第一次数学危机”是怎么回事吗？它与我们现在常用的哪个概念密切相关？学完本节，你会找到答案．
　　1．“数”发展的历史顺序大体是：正整数、__________、________、____________、________、____________.
　　2．毕达哥拉斯学派基本的信条是“__________”，他们相信任何量都可以表示成两个整数之比，给定两条线段一定有一个__________．
　　3．我国的刘徽已经对负数有了深刻的认识，在《______》中指出负数的绝对值未必小，正数的绝对值未必大．元朝的朱世杰在《__________》中第一次明确提出正负数的乘除法则．
　　答案：1．分数　无理数　负数　零　虚数(复数)
　　2．万物皆数　公共度量
　　3．九章算术注　算学启蒙
　　【例1】 证明：正方形的对角线与其一边构成不可公度量．
　　证明：如图，假设正方形的对角线与其一边构成可公度量，则二者之比为α∶β(α，β互素)．根据勾股定理，有α2=2β2.这里α2为偶数，则α也必为偶数，设α=2ρ，于是α2=4ρ2=2β2，即β2=2ρ2，β2为偶数，则β也必为偶数．这与α，β互素的假设相矛盾，因此正方形的对角线与其一边不可公度量．这一证明与我们今天证明 为无理数的方法相同．
　　你能收集到历史上最早的有关2值的计算吗？
　　【例2】 查阅资料欣赏我国《九章算术》中有关正负数的应用．
　　答：《九章算术》最早给出的正负数加减法则的条文如下：
　　《九章算术》中的正负术
　　正负术曰，同名相除，异名相益．正无入负之，负无入正之．其异名相除，同名相益．正无入正之，负无入负之．
　　这里的“同名”“异名”就是现在的“同号”“异号”，“除”“益”分别是“减”“加”．条文的前四句说的是减法法则，大意为：两数相减时，若二数同号，则差数的绝对值等于二数绝对值的差(大减小)；若二数异号，则差数的绝对值为二数绝对值之和．