数列的综合应用复习教案

约3780字。

　　数列的综合应用
　　知识原理：
　　1.对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，有的数列并没有指明，但可以通过分析构造，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．
　　2．数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，在实际生活中也有着广泛的应用．
　　典型例题：
　　[例1]　在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
　　(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an.
　　[解答]　(1)证明：∵bn＝log2an，∴bn＋1－bn＝log2an＋1an＝log2q为常数，
　　∴数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.
　　(2)∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2，
　　∵a1>1，∴b1＝log2a1>0.
　　∵b1b3b5＝0，∴b5＝0.
　　∴b1＋2d＝2，b1＋4d＝0，解得b1＝4，d＝－1，
　　∴Sn＝4n＋nn－12×(－1)＝9n－n22.
　　∵log2q＝－1，log2a1＝4，∴q＝12，a1＝16，
　　∴an＝25－n(n∈N*)．
　　试比较(2)求出的Sn与an的大小．
　　解：∵an＝25－n>0，
　　当n≥9时，Sn＝n9－n2≤0，
　　∴n≥9时，an>Sn.
　　∵a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，
　　a6＝12，a7＝14，a8＝18，
　　S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，
　　S6＝9，S7＝7，S8＝4，
　　∴当n＝3,4,5,6,7,8时，an<Sn；
　　当n＝1,2或n≥9时，an>Sn.