《均值不等式》归纳总结

约2640字。

　　均值不等式归纳总结
　　1. (1)若 ，则  (2)若 ，则   （当且仅当 时取“=”）
　　2. (1)若 ，则  (2)若 ，则  （当且仅当 时取“=”）
　　(3)若 ，则   (当且仅当 时取“=”）
　　3.若 ，则  (当且仅当 时取“=”）
　　若 ，则  (当且仅当 时取“=”）
　　若 ，则   (当且仅当 时取“=”）
　　4.若 ，则   (当且仅当 时取“=”）
　　若 ，则   (当且仅当 时取“=”）
　　5.若 ，则 （当且仅当 时取“=”）
　　『ps.(1)当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
　　(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”
　　(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』
　　应用一：求最值
　　例1：求下列函数的值域
　　（1）y＝3x 2＋12x 2       （2）y＝x＋1x
　　解：(1)y＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2•12x 2  ＝6  ∴值域为[6 ，+∞）
　　(2)当x＞0时，y＝x＋1x ≥2x•1x  ＝2；
　　当x＜0时， y＝x＋1x = －（－ x－1x ）≤－2x•1x  =－2
　　∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
　　解题技巧
　　技巧一：凑项
　　例  已知 ，求函数 的最大值。
　　解：因 ，所以首先要“调整”符号，又 不是常数，所以对 要进行拆、凑项，
　　， 
　　当且仅当 ，即 时，上式等号成立，故当 时， 。
　　评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
　　技巧二：凑系数
　　例1. 当 时，求 的最