《余弦定理》教学设计

约2750字。

　　余弦定理一课的教学设计
　　随着数学新课程改革的不断深入，“学生是课堂教学活动的主体”已经成为广大中学数学教师的共识.本文记录了笔者“余弦定理”（“余弦定理”是普通高中课程标准实验教科书《数学5》（必修）部分的内容）一课的教学过程，并就此谈一些感受和体会，供同行参考，不妥之处，敬请指正。
　　一、创设情境，提出问题
　　教师首先提出问题。修建一条高速公路时，要开凿隧道将一段山体打通，现要测量该山体底侧两点间的距离，也就是：如图1，要测量该山体两底侧A、B两点间的距离。
　　图1
　　我请同学们先相互讨论一下，想办法解决这个问题。
　　二、构建模型，解决问题
　　对于这个问题，同学们都比较兴奋，相互间进行热烈地讨论，提出：先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等。也有学生提出在远处选一点C，然后量出AC，BC的长度，再测出∠ACB。△ABC是确定的，就可以计算了AB的长了。
　　笔者让3位学生板演。（为了便于阅读，对学生的解答笔者稍做了一些修饰）。
　　图2
　　生1：（他构造了一个直角三角形）
　　师：我们来看这3位同学的解答。你们怎样评价他们的解答？表达得是否规范？答案对不对？谁做的最好？
　　因为各自都有了准备，结合自己的解答，可以进行判断。同时，在相互交流的过程中又指出在三种解法中需注意的问题（比如，在第二种解法中需注意向量的夹角等）。
　　师：现在我想知道你们是怎么想到这些解法的？（分别请三位学生各自谈是如何想到的）
　　三位学生大概地说出了他们的一些想法，同时又有其他同学补充，最后师生达成共识：第一种解法，是将一般的三角形转化为特殊的直角三角形；第二种解法，是利用向量从形的角度构造向量等式，再将向量等式数量化；第三种解法，是在建立适当的直角坐标系的条件下，利用两点间的距离公式，从而将问题解决。
　　三、追踪成果，提出猜想
　　正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理：而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理。
　　师：请同学们思考，刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程呢？
　　学生相互间进行热烈地讨论，比较、分析，得出结论：若把解法一作为定理的证明过程，需要对角C进行分类讨论，即分角C为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程。
　　在学生充分讨论、小结后，教师作适当总结：证明余弦定理，就是证明一个等式。而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直