2019高考数学高分突破二轮复习练习：圆锥曲线中的热点问题

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约12040字。

第3讲　圆锥曲线中的热点问题
　　高考定位　1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.
　　真 题 感 悟
　　1.(2018•浙江卷)已知点P(0，1)，椭圆x24＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足AP→＝2PB→，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大.
　　解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP→＝2PB→，得－x1＝2x2，1－y1＝2（y2－1），即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点A，B在椭圆上，所以4x224＋（3－2y2）2＝m，x224＋y22＝m，得y2＝14m＋34，所以x22＝m－(3－2y2)2＝－14m2＋52m－94＝－14(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.
　　答案　5
　　2.(2018•北京卷)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.
　　(1)求直线l的斜率的取值范围；
　　(2)设O为原点，QM→＝λQO→，QN→＝μQO→，求证：1λ＋1μ为定值.
　　(1)解　因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，
　　所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.
　　由题意知，直线l的斜率存在且不为0.
　　设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0).
　　由y2＝4x，y＝kx＋1得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
　　依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，
　　解得k<1，又因为k≠0，故k<0或0<k<1.
　　又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2).
　　从而k≠－3.
　　所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1).
　　(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2).
　　由(1)知x1＋x2＝－2k－4k2，x1x2＝1k2.
　　直线PA的方程为y－2＝y1－2x1－1(x－1).令x＝0，
　　得点M的纵坐标为yM＝－y1＋2x1－1＋2＝－kx1＋1x1－1＋2.
　　同理得点N的纵坐标为yN＝－kx2＋1x2－1＋2.
　　由QM→＝λQO→，QN→＝μQO→得λ＝1－yM，μ＝1－yN.
　　所以1λ＋1μ＝11－yM＋11－yN＝x1－1（k－1）x1＋x2－1（k－1）x2
　　＝1k－1•2x1x2－（x1＋x2）x1x2＝1k－1•2k2＋2k－4k21k2＝2.
　　所以1λ＋1μ＝2为定值.
　　3.(2017•全国Ⅰ卷)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3－1，32，P41，32中恰有三点在椭圆C上.
　　(1)求C的方程；
　　(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点.