2018年高中数学选修4-5第二章几个重要的不等式活页作业（打包4套）北师大版

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教材版本: 北师大版
适用分类: 高中选修试卷
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更新时间: 2018/11/7 21:05:35

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2018年高中数学第二章几个重要的不等式活页作业（打包4套）
　　2018年高中数学第二章几个重要的不等式2.1.1简单形式的柯西不等式活页作业8北师大版选修4_5201809303103.doc
　　2018年高中数学第二章几个重要的不等式2.1.2一般形式的柯西不等式活页作业9北师大版选修4_5201809303105.doc
　　2018年高中数学第二章几个重要的不等式2.2排序不等式活页作业10北师大版选修4_5201809303107.doc
　　2018年高中数学第二章几个重要的不等式2.3数学归纳法与贝努利不等式活页作业11北师大版选修4_5201809303109.doc
　　活页作业(八)　简单形式的柯西不等式
　　一、选择题
　　1．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的大小关系是(　　)
　　A．P≤Q　　 B．P<Q　　
　　C．P≥Q　　 D．P>Q
　　解析：设m＝(ax，by)，n＝(a，b)，
　　则|ax＋by|＝|m•n|≤|m||n|＝
　　ax2＋by2•a2＋b2＝
　　ax2＋by2•a＋b＝ax2＋by2，
　　∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即P≤Q.
　　答案：A
　　2．设x>0，y>0，m>0，n>0，且mx＋ny＝1，则u＝x＋y的最小值是(　　)
　　A．(m＋n)2 B．m
　　C．n D．(m＋n)2
　　解析：根据柯西不等式，得x＋y＝(x＋y)mx＋ny≥x•mx＋y•ny2＝(m＋n)2，
　　当且仅当xm＝yn时，等号成立，
　　这时u取最小值为(m＋n)2.
　　答案：A
　　3．已知x，y∈(0，＋∞)，且xy＝1，则1＋1x1＋1y的最小值为(　　)
　　A．4 B．2
　　C．1 D．14
　　解析：1＋1x1＋1y＝
　　12＋1x212＋1y2≥
　　1×1＋1x•1y2＝1＋1xy2＝22＝4.
　　答案：A
　　4．已知θ∈R，则42＋sin2θ＋2cos θ的最大值是(　　)
　　A．23 B．36
　　C．63 D．6
　　解析：42＋sin2θ＋2cos θ≤42＋22•2＋sin2θ2＋cos2θ＝36，当且仅当 4cos θ＝22＋sin2θ，即sin θ＝±63，cos θ＝33时等号成立．
　　答案：B
　　二、填空题
　　5．若x＋2y＝5，则x2＋y2的最小值为________.
　　解析：由柯西不等式，得(x2＋y2)(12＋22)≥(x＋2y)2，当且仅当x＝y2时取等号．所以5(x2＋y2)≥25.
　　所以x2＋y2≥5.
　　答案：5
　　6．已知a2＋b2＝4，则|acos θ＋bsin θ|的最大值是________.
　　解析：因为(acos θ＋bsin θ)2≤(a2＋b2)(cos2θ＋sin2θ)＝4，当且仅当asin θ＝bcos θ时等号成立，
　　所以|acos θ＋bsin θ|≤2.
　　活页作业(十一)　数学归纳法与贝努利不等式
　　一、选择题
　　1．用数学归纳法证明“11×2＋12×3＋13×4＋…＋1nn＋1＝
　　nn＋1(n∈N＋)”，从n＝k到n＝k＋1时，等式左边需增添的项是(　　)
　　A．1k＋1　　　　　　　 B．1k＋2
　　C．1kk＋1 D．1k＋1k＋2
　　解析：当n＝k(k∈N＋)时，等式的左边＝11×2＋
　　12×3＋13×4＋…＋1kk＋1；当n＝k＋1时，等式的左边＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1kk＋1＋1k＋1k＋2.所以从n＝k到n＝k＋1时，等式的左边需增添的项为1k＋1k＋2.
　　答案：D
　　2．对于正整数n，下列说法不正确的是(　　)
　　A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0.1n
　　C．0.9n<1－0.1n D．0.1n≥1－0.9n
　　解析：由贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx(x≥－1，
　　n∈N＋)，可知当x＝2时，(1＋2)n≥1＋2n，A项正确；当x＝－0.1时，(1－0.1)n≥1－0.1n，B项正确，C项不正确；当x＝－0.9时，(1－0.9)n≥
　　1－0.9n，D项正确．
　　答案：C
　　3．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋)．试归纳猜想出Sn的表达式为(　　)
　　A．2nn＋1　 B．2n－1n＋1　
　　C．2n＋1n＋2　 D．2nn－1
　　解析：因为a1＝1，所以S1＝1.又S2＝4a2＝a1＋a2，
　　所以3a2＝1.所以a2＝13，S2＝43.又S3＝9a3＝S2＋a3，所以8a3＝43.所以a3＝16.所以S3＝32＝64.由此可猜想Sn＝2nn＋1(n∈N＋)．
　　答案：A
　　4．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N＋)，某学生用数学归纳法证明的过程如下：
　　(1)当n＝1时命题显然成立．
　　(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时原不等式成立，即k2＋k<k＋1，则当n＝k＋1时，左边＝k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋2＋k＋2＝
　　k＋22＝(k＋1)＋1.
　　故当n＝k＋1时原不等式也成立．
　　由(1)(2)，可知原不等式对一切n∈N＋都成立．
　　对上述证明过程，下列说法正确的是(　　)
　　A．过程全部正确 B．n＝1时验证不正确
　　C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
　　解析：上述过程中，当n＝1时的验证及假设均正确，只是在(2)中的证明没有使用归纳假设，因此证明过程错误．
　　答案：D
　　二、填空题
　　5．与贝努利不等式(1＋x)n>1＋nx(x>－1且x≠0，n>1，n∈N)等价的不等式是________.(填序号)

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