《绝对值不等式》专题训练卷（解析版）

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共13道小题，约3280字。

19届高三理科数学——绝对值不等式专题
　　1、恒成立三角不等式
　　已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
　　(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
　　(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围.
　　解　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
　　解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
　　因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.
　　(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，
　　所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①
　　当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.
　　当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.       
　　所以a的取值范围是[2，＋∞).
　　2、恒成立三角不等式
　　已知函数 , ,其中 .
　　(Ⅰ) 解不等式 ；
　　(Ⅱ) 任意 , 恒成立,求 的取值范围.
　　解:(Ⅰ)不等式 即 ,………………………2分
　　两边平方得 ,解得 ,
　　所以原不等式的解集为 .………………………5分
　　(Ⅱ)不等式 可化为 ,………………………7分
　　又 ,所以 ,解得 ,
　　所以 的取值范围为 .………………………10分
　　3、恒成立三角不等式
　　已知函数
　　（1）当 时，求不等式 的解集；
　　（2）若对于任意非零实数 以及任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
　　解：（1）当 时， ，
　　所以不等式 的解集为 （5分）
　　（2） , ，（7分）
　　又因为 ，
　　所以 ，故实数 的取值范围 .（10分）
　　4、恒成立分段函数
　　设 ， .
　　（I）解关于 的不等式 ；
　　（II）如果 恒成立，求实数 的取值范围．
　　解：（I）解法1： ----------------------2分
　　不等式 等价于 或者 ，-----------------------------------3分
　　解得 或 ，即 ，∴所求不等式的解集为 ；-----------------4分
　　【解法2：由 ，得 ，即 ，----------------2分
　　，解得 ，解集为 ；-------------------------4分】
　　（II） ，-----------------------------6分
　　因为 恒成立，故有 ，解得 ．------------10分
　　5、恒成立三角不等式
　　已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.
　　(1)解关于x的不等式f(x)＋a－1＞0(a∈R)；
　　(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的上方，求m的取值范围.
　　解(1)不等式f(x)＋a－1＞0即为|x－2|＋a－1＞0，
　　当a＝1时，解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)；
　　当a＞1时，解集为R.
　　当a＜1时，解集为(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞).
　　(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方.等价于|x－2|＞－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，
　　即|x－2|＋|x＋3|＞m对任意实数x恒成立.又|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5.
　　于是m＜5.故m的取值范围是(－∞，5).