浙江省温州中学2017届高三2月奥赛班数学模拟评估试题卷

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共19题，约2250字，答案扫描。

2017年温州中学奥赛班数学模拟评估
　　{ M A T H E M A T I C S }
　　（本卷满分：150 分  考试时间：150 分钟）
　　一、填空题（共15小题，1~14题5分，15题6分，计76分）．
　　1. 已知 ，则 的最大值为          ．
　　2. 已知 ， ，若 ，则 的取值范围是             ．
　　3. 已知 ， ， ， ， ，若存在正数 使得对于任意正数 ，可使 为三角形的三边构成三角形，则 的值是                   ．
　　4. 若不等式 在 且 时恒成立，则 的取值范围是             ．
　　5. 已知现有4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长是              ．
　　6. 已知椭圆 与直线 ， ，过椭圆上一点P作 的平行线，分别交 于M，N两点．若 为定值，则 的值是             ．
　　7. A是集合{1,2,3,…,14}的子集，从A中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A中元素个数的最大值是            ．
　　8. 模长为1的复数x，y，z满足 ，则 的值是           ．
　　9. 若 在 有唯一解，则 的值是             ．
　　10. 已知点  和双曲线 右支上的两个动点B，C，在动点B，C运动的过程中，若存在三个等边三角形ABC，则点A横坐标的取值范围是                  ．
　　11. 若 为实数，若关于x的方程 有实数解，则 的取值范围是             ．
　　12. 在正三角形ABC的底边BC上取中点M，在与底边BC相邻的两条边BA和CA上分别取点P、Q，若线段PQ对M的张角∠PMQ为锐角，则称点P、Q亲密．若点P、Q在BA、CA上的位置随机均匀分布，则P、Q亲密的概率称为正三角形的亲密度．则正三角形的亲密度为             ．
　　13. 正六边形ABCDEF的对角线AC和CE分别被内点M和N分割，且有 ．如果B、M、N共线，则r的值为             ．
　　14. 已知AB为 上在y轴两侧的点，则过AB的切线与x轴围成面积的最小值是           ．
　　15. 坐标系内 平面内 绕 轴旋转一周构成一个不透光立体，在 设置一光源，在 平面内有一以原点为圆心 被光照到的长度为 ，则曲线 上未被照到的长度为           ．
　　二、解答题（共4小题，16、17题16分，18题18分，19题24分，计74分）．
　　16. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点P在正方体ABCD−A1B1C1D1表面上运动，且 ．记点P的轨迹的长度为 ．求关于r的方程 的解的个数的所有可能的值．
　　17. 过抛物线 （p为不等于2的素数）的焦点F，作与x轴不垂直的直线l交抛物线于M、N两点，线段MN的垂直平分线交MN于点P，交x轴于点Q．
　　(Ⅰ) 求PQ的中点R的轨迹L的方程；
　　(Ⅱ) 证明：轨迹L上有无穷多个整点，但L上任意整点到原点的距离均不是整数．