《空间向量与立体几何》测试题

　　此资源为用户分享，在本站免费下载，只限于您用于个人教学研究。

约3010字。

空间向量与立体几何
　　河北新乐一中   张增辉
　　一、选择题
　　1．(2013•南昌模拟)在空间中，已知AB→＝(2,4,0)，BC→＝(－1,3,0)，则∠ABC的大小为(　　)
　　A．45°　　　 B．90°　　　
　　C．120°　　　 D．135°
　　【解析】　由BA→＝(－2，－4,0)，BC→＝(－1,3,0)得
　　cos〈BA→，BC→〉＝BA→•BC→|BA→||BC→|＝2－1225×10＝－22，
　　又0°≤〈BA→，BC→〉≤180°，
　　∴∠ABC＝135°.
　　【答案】　D
　　2．(2013•山东高考)已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面积是边长为3的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　)
　　A.5π12  B.π3 
　　C.π4  D.π6
　　【解析】　画出三棱柱ABC—A1B1C1，作出PA与平面ABC所成的角，解三角形求角．
　　如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．
　　在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝3，
　　则S＝34×(3)2＝334，
　　VABC—A1B1C1＝S×PO＝94，∴PO＝3.
　　又AO＝33×3＝1，∴tan∠PAO＝POAO＝3，
　　∴∠PAO＝π3.
　　【答案】　B
　　3．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝a.点E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F.则PB与平面EFD所成角为(　　)
　　A．30°  B．45°
　　C．60°  D．90°
　　【解析】　建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，D为坐标原点．则P(0,0，a)，B(a，a,0)，PB→＝(a，a，－a)，又DE→＝0，a2，a2，
　　PB→•DE→＝0＋a22－a22＝0，
　　所以PB⊥DE.由已知DF⊥PB，又DF∩DE＝D，
　　所以PB⊥平面EFD，所以PB与平面EFD所成角为90°.
　　【答案】　D
　　4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)
　　A.12  B.23 
　　C.33  D.22
　　【解析】　以A为原点建立空间直角坐标系，如图．
　　设棱长为1，
　　则A1(0,0,1)，E1，0，12，D(0, 1,0)，
　　所以A1D→＝(0,1，－1)，
　　A1E→＝1，0，－12，
　　设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
　　则y－z＝0，1－12z＝0，所以y＝2，z＝2，
　　所以n1＝(1,2,2)．
　　设平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，
　　所以|cos〈n1，n2〉|＝23×1＝23.
　　即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为23.故选B.
　　【答案】　B
　　5．P是二面角α—AB—β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α—AB—β的大小为
　　(　　)
　　A．60°  B．70° 
　　C．80°  D．90°
　　【解析】　不妨设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB于点E，NF⊥AB于点F，如图．