《导数及其应用》高考复习指导

约5850字。

　　《导数及其应用》高考复习指导
　　苍南龙港高中  吕存于
　　【考点解读】
　　1．导数（选修II）高考考核要求为：①导数的概念及某些实际背景，导数的几何意义，几种常见函数的导数；②两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式；③利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值等。
　　2．比例与题型：导数是高中新教材改革后新加进的知识之一，从近几年全国统考试卷及2004年浙江卷看，其分值比例逐年上升到现在基本稳定在一大（12分），一小（5分）的两题格局上（2004年浙江卷是如此），是新教材的一个主要得分点。
　　3．命题热点难点是：①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。
　　4．体系整合
　　5．复习建议：①学会优先考虑利用导数求函数的极大（小）值、最大最小或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸，这种方法使复杂问题简单化。②导数与解析几何或函数图象的混合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意。
　　热点一：导数的几何意义
　　函数y=f (x) 在点x0导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f (x) 在P (x0, f (x0))处的切线的斜率是f′(x0)，于是相应的切线方程为y－y0=f′(x0) (x－x0)，巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。
　　【错题分析】
　　[错例1] （2004天津卷20（2））曲线f(x)=x3－3x，过点A(0，16)作曲线f (x)的切线，求曲线的切线方程。
　　误解：f (x)=3x3－3，根据导数的几何去何从意义可知，曲线的切线斜率 (0)=－3，所以曲线的切线方程为y=－3x＋16。
　　剖析：本题错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k是应是在切点处的导数，而点A (0，16) 不在曲线上。故本题应先设切点，再求斜率，写出直线的方程。
　　正确解法：设切点坐标 ，则切线的斜率 ，切线方程 ，又因为点M在切线上，所以 得
　　【典型题例】
　　例1:设P0 (x0，y0) 为曲线C : y=x3 (x＞0)上任意一点，过P0作曲线C的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于P1(x1，y1)，然后再过P1作曲线C的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线C交于P2(x2，y2)，依此类推，作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，…，Pn，Qn＋1，…，已知x0=9，设Pn (xn，yn) (n∈N)。
　　（1）求出过点P0的切线方程。
　　（2）设xn=f (n)  (n∈N)，求f (n)的表达式；
　　（3）求 的值。
　　点拨  本例涉及到求切线方程的问题,其关键在于掌握切线的斜率等于切点 的导数
　　解析  （1）y′=3x2，∵P0 (9，93)，∴切线P0Q1的斜率 ，
　　∴过P0点的切线即直线P0Q1的方程为y－93